Løsning

Først kan man notere seg de gitte opplysningene:

$C=0.1\cdot10^{-6}F$ .

$v_{0}=15V$

Strøm

Fra bildet over kan man avlese strømmen i hvert intervall. Denne er oppgitt i mA, mens t (for tid) er i mikrosekunder:

$i(t)=\begin{array}{ccc} -50 & , & 0\leq t\leq10\\ 100 & , & 10\leq t\leq20\\ 160 & , & 20\leq t\leq40\\ 0 & , & 40\leq t\leq\infty \end{array}$

Merk: Startspenningen $v_{0}=15V$ er oppgitt i Volt (V) og ikke milliVolt (mV). Så man må bli kvitt strømmens mA størrelse, før den skal brukes til å finne V:

$i(t)=\begin{array}{ccc} \frac{-50}{1000} & , & 0\leq t\leq10\\ \frac{100}{1000} & , & 10\leq t\leq20\\ \frac{160}{1000} & , & 20\leq t\leq40\\ \frac{0}{1000} & , & 40\leq t\leq\infty \end{array}$

Her er strømmen i hvert intervall nå oppgitt i Ampere (A). Så da er vi klare for å endelig finne spenningen!

Spenning

Formel $v=\frac{1}{C}\int_{t_{0}}^{\;t}idt+v_{t_{0}}$ benyttes for å finne spenning fra strøm. Bokstaven $i$ erstattes med korrekt størrelse over.

Første intervall

I første intervallet er strømmen $i_{1}(t)=\frac{-50}{1000}A$ .

Dette gir $v_{1}(0,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{0}^{\;t}(\frac{-50}{1000})dt+15=15-5\cdot10^{5}t$

Størrelsen $v_{t_{0}}=15V$ var her allerede opplyst, så arbeidet ble lettere.

Andre intervall

For å finne spenningen for resterende intervall må $v_{t_{0}}$ beregnes. Altså spenningen på slutten av forrige intervall.

Og for første intervallet er spenningen på slutten:

$v_{t=10\mu s}=v_{1}(10)=15-(5\cdot10^{5})\cdot(10\cdot10^{-6})=10V$

Dermed blir spenningen i andre intervallet:

$v_{2}(10,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{10\cdot10^{-6}}^{\;t}(\frac{100}{1000})dt+10=10^{6}t$

Tredje intervall

Spenningen på slutten i andre intervallet:

$v_{t=20\mu s}=v_{2}(20)=10^{6}\cdot(20\cdot10^{-6})=20V$

Spenningen i tredje intervallet:

$v_{3}(20,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{20\cdot10^{-6}}^{\;t}(\frac{160}{1000})dt+20=1.6\cdot10^{6}t-12$

Fjerde intervall

Spenningen på slutten i forrige (tredje) intervall:

$v_{t=40\mu s}=v_{3}(40)=1.6\cdot10^{6}\cdot(40\cdot10^{-6})-12=52V$

Spenningen i fjerde og siste intervall:

$v_{4}(40,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{40\cdot10^{-6}}^{\;t}(\frac{0}{1000})dt+52=52V$

Resultat

Oppsummert blir spenningen i intervallene som følger:

$v(t)=\begin{array}{ccc} 15-5\cdot10^{5}t & , & 0\leq t\leq10\\ 10^{6}t & , & 10\leq t\leq20\\ 1.6\cdot10^{6}t-12 & , & 20\leq t\leq40\\ 52 & , & 40\leq t\leq\infty \end{array}$

Graf som viser spenningen:

Oppgave: Finn spenning i kondensator tilkoblet pulserende strømkilde