En krets med 1 stk. energikilde og 5 stk. resistorer ser slik ut:

Oppgave: Bruk forskjellige metoder for å finne strømmer, delspenninger, osv.

Her finnes det i hvertfall tre forskjellige løsningsmetoder. Rangert fra lett (men tungvint) først, til mest allsidig sist ..

1. Forenkle kretsen og benytte enkle formler

«Δ-til-Y»-omgjøring

Først må man visuelt endre kretsen, så det blir en «deltakrets» (Δ–krets). Deretter gjør man utregninger for «Δ-til-Y» omgjøring, så man får en tilsvarende «Y-krets» med samme resistansen. Da er videre arbeid lekende lett.

Her er øverste masken vilkårlig valgt for omgjøring:

$R_{1}=\frac{R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{5\Omega\cdot30\Omega}{5\Omega+30\Omega+90\Omega}=1.2\Omega$ $R_{2}=\frac{R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{5\Omega\cdot90\Omega}{5\Omega+30\Omega+90\Omega}=3.6\Omega$ $R_{3}=\frac{R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{30\Omega\cdot90\Omega}{5\Omega+30\Omega+90\Omega}=21.6\Omega$

En visuell sammenligning mellom de to kretsene:

Etter dette er det et par raske utregninger til, for å forenkle kretsen mer. Og deretter kan man finne strøm og effekt.

Finne ekvivalent resistans

For å slå sammen resistorer i serie og parallell:

$R_{2}=R_{2}+R_{4}=3.6\Omega+26\Omega=29.6\Omega$ (en ny større $R_{2}$ resistor)

$R_{3}=R_{3}+R_{5}=21.6\Omega+8\Omega=29.6\Omega$ (en ny større $R_{3}$ resistor)

$R_{2|3}=\frac{1}{\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}}=\frac{1}{\frac{1}{29.6\Omega}+\frac{1}{29.6\Omega}}=14.8\Omega$ $R_{eq}=R_{1}+R_{2|3}=1.2\Omega+14.8\Omega=16\Omega$

Gjenværende arbeid

Nå kan man endelig finne strømmen, som blir $i=\frac{v}{R_{eq}}=\frac{80V}{16\Omega}=5A$ .

Herifra er det lett å regne seg bakover, for å finne delspenninger, grenstrømmer og effekter. Enkelt, men gjerne tidkrevende.

2. Ligningssett for nodespenninger

I den opprinnelige kretsen kan man i stedet finne nodespenningene ( $v_{1},v_{2},v_{3}$ ):

Deretter kan man etterpå finne strøm, effekt, osv.

Kirchhoffs strømlov benyttes for å sette opp ligningene. Men når disse skal settes opp, er det veldig viktig at retningen på strømmen / retningen på spenningsfallene – i kretsen, tas hensyn til. Ellers blir det feil øyeblikkelig. I minste fall må man være konsekvent når man navngir komponenter og regner på spenningsfall.

Lage ligningssett

I kretsen over har man følgende:

Node 2: $\frac{v_{1}-v_{2}}{R_{1}}=\frac{v_{2}}{R_{4}}+\frac{v_{2}-v_{3}}{R_{3}}$ (inn i noden = ut av noden)

Node 3: $\frac{v_{2}-v_{3}}{R_{3}}+\frac{v_{1}-v_{3}}{R_{2}}=\frac{v_{3}}{R_{5}}$ (inn i noden = ut av noden)

For node 1 har man $v_{1}=v_{s}=80V$ som kan leses av direkte.

Løse ligningssettet

Trinn 1 – sette inn kjente verdier

$\frac{80-v_{2}}{5}=\frac{v_{2}}{26}+\frac{v_{2}-v_{3}}{90}$ $\frac{v_{2}-v_{3}}{90}+\frac{80-v_{3}}{30}=\frac{v_{3}}{8}$

Trinn 2 – forenkle ligningssettet

$v_{2}=\frac{37440+26v_{3}}{584}$ ,

$v_{3}=\frac{8v_{2}+1920}{122}$

Trinn 3 – kombinere ligninger og løse

$584v_{2}=37440+26(\frac{8v_{2}+1920}{122})$ blir til $v_{2}=65V$ og $v_{3}=20V$ .

Gjenværende arbeid

Med $i_{1}=\frac{v_{1}-v_{2}}{R_{1}}$ fra ligningssettet som gir $i_{1}=\frac{80V-65V}{5\Omega}=3A$ osv., kan man finne alt det andre. Benytt Ohms lov, effektformelen, osv.

3. Ligningssett for maskestrømmer

Tredje alternativ består av å sette opp ligninger som baserer seg på at kretsen har såkalte «maskestrømmer» ( $i_{a},i_{b},i_{c}$ ):

Hver løkke uten mindre løkker inni seg er en maske. Og hver maske har en strøm .. Dette blir delvis teoretiske strømmer, siden de ikke nødvendigvis lar seg måle i praksis med et amperemeter. Men de er kjekke likevel. Og etterpå kan man finne grenstrømmer osv.

Maskestrømligningene blir først satt opp som om de er egne kretser. Deretter trekker man fra for "overlapp", for de grener som er delt med andre masker.

Lage ligningssett

Maske 1: $80=i_{a}(R_{1}+R_{4})-i_{b}R_{1}-i_{c}R_{4}$

Maske 2: $0=i_{b}(R_{1}+R_{2}+R_{3})-i_{a}R_{1}-i_{c}R_{3}$

Maske 3: $0=i_{c}(R_{3}+R_{4}+R_{5})-i_{a}R_{4}-i_{b}R_{3}$

Ligningene skal selvsagt også oppfylle Kirchhoffs lover.

Løse ligningssettet

Trinn 1 – etter å ha satt inn kjente verdier og summert litt

$80=31i_{a}-5i_{b}-26i_{c}$ ,

$0=125i_{b}-5i_{a}-90i_{c}$ ,

$0=124i_{c}-i_{a}26-i_{b}90$

Trinn 2 – forenkle ligningssettet og kombinere

$i_{a}=\frac{80+5i_{b}+26i_{c}}{31}$ og $i_{a}=\frac{125i_{b}-90i_{c}}{5}$ ,

gir $i_{b}=\frac{2920i_{c}+400}{3850}$ osv. osv.

Til slutt får man $i_{a}=5$ , $i_{b}=2$ og $i_{c}=2.5$ .

Gjenværende arbeid

Man kan nå finne grenstrømmer, delspenninger osv. F.eks. blir $i_{2}=i_{b}=2A$ og $i_{5}=i_{c}=2.5A$ .

Spenningen over hver av disse resistorene blir $v_{2}=i_{2}R_{2}=60V$ og $v_{5}=i_{5}R_{5}=20V$ . Mens effekten blir $p_{2}=i_{2}v_{2}=120W$ og $p_{5}=i_{5}v_{5}=50W$ .

Siden energikilden er del av maske nr. 1, med maskestrøm $i_{a}$ , blir ytet effekt $p_{s}=-i_{a}v_{s}=-1\cdot5A\cdot80V=-400W$ . (Minustegn pga. Passiv komponent fortegn-konvensjonen.)

Det kan skje at man får motstridende ligninger. Eller rett og slett feil svar, som ikke passer når man kontrollregner etterpå .. Da er det enten regnefeil eller feil i oppsatte ligninger. Da blir det på’n igjen ….. helt til du er i mål. Vurder også å ta i bruk kretskalkulatorer som falstad.com. Da er det lettere å sjekke eget arbeid.

Oppgave: Bruk forskjellige metoder for å finne strømmer, osv. i en krets

1. Forenkle kretsen og benytte enkle formler

«Δ-til-Y»-omgjøring

Finne ekvivalent resistans

Gjenværende arbeid

2. Ligningssett for nodespenninger

Lage ligningssett

Løse ligningssettet

Trinn 1 – sette inn kjente verdier

Trinn 2 – forenkle ligningssettet

Trinn 3 – kombinere ligninger og løse

Gjenværende arbeid

3. Ligningssett for maskestrømmer

Lage ligningssett

Løse ligningssettet

Trinn 1 – etter å ha satt inn kjente verdier og summert litt

Trinn 2 – forenkle ligningssettet og kombinere

Gjenværende arbeid

Legg igjen en kommentar Avbryt svar