Elektriske kretser – Side 5

Oppgave: Finne ladning når strømmen er 40te^(-500t) A

Strømmen inn på en terminal tilhørende en elektrisk komponent er ved $t\geq0$ antatt å være $i=40te^{-500t}$ A. Ved $t<0$ er den 0.

a) Finn et uttryk for ladningen som bygger seg opp på terminalen.

b) Finn ladning som har bygd seg opp ved $t=1$ ms.

–

a) Siden $i=\frac{dq}{dt}$ og dermed $i=q'=40te^{-500t}$ har vi utgangspunktet for å finne $q$ , som blir uttrykket for ladning som bygger seg opp på terminalen: $q(t)=\intop_{0}^{t}40te^{-500t}dt=[-\frac{2}{25}te^{-500t}-\frac{e^{-500t}}{6250}]_{0}^{t}$

b) Vi benytter formelen over for å finne oppbygd ladning etter kun $t=1$ ms, altså 0.001 sekunder: $q(0.001)=(-\frac{2}{25}0.001e^{-500\cdot0.001}-\frac{e^{-500\cdot0.001}}{6250})-(0-\frac{e^{0}}{6250})=14.40\mu C$

Oppgave: Finn ladningsformel for strøm på 20cos(5000t) A

Terminal 1 på en elektrisk komponent mottar en strøm, $i=20cos(5000t)$ A. Finn et uttrykk for $q(t)$ . Du kan anta at i det øyeblikket strømmen når sitt makspunkt så er ladningen $(q)$ lik 0.

–

Utgangspunktet blir def. for strøm, $i=\frac{dq}{dt}$ . Denne gir $i=q'=20cos(5000t)$ .

Så ved å integrere får man $q(t)=\int_{0}^{t}20cos(5000t)\;dt=[\frac{1}{250}sin(5000t)]_{0}^{t}$ med C.

Ved $t=0$ blir $q(0)=[\frac{1}{250}sin(5000\cdot0)]_{0}^{0}=0\;C$ , altså 0 coulomb.

Oppgave: Finne ladning når strømmen er 125e^(-2500t) mA

Ved tiden $t=0s$ så begynner en strøm på $125e^{-2500t}mA$ å bevege seg inn på terminal 1 tilhørende en elektrisk komponent.

a) Finn formelen som viser hvor mye ladning som bygger seg opp på terminal 1.

b) Finn total ladning som bygger seg opp på terminal 1.

c) Hvis strømmen skulle plutselig stoppe etter kun $t=0.5ms$ , hvor mye ladning har bygd seg opp på terminal 1?

–

a) Her blir utgangspunktet def. for strøm, $i=\frac{dq}{dt}$ . Som betyr “i er lik deriverte av q, med hensyn på t”. Så da blir $i=q'=125e^{-2500t}$ . Denne må integreres for å “komme tilbake” til q, så vi får formelen for ladning. (Som jo var oppgaven.)

Resultatet blir $q(t)=\intop_{0}^{t}125e^{-2500t}dt=[-\frac{1}{20}e^{-2500t}]_{0}^{t}$ .

b) Total ladning blir for $[0,\infty)$ over formelen for q. Altså må $\infty$ settes inn i formelen over; $q(\infty)=-\frac{1}{20}e^{-2500\infty}-(-\frac{1}{20}e^{-2500\cdot0})=0-(-0.05)=0.05.$ Her er dette millicoulomb (mC), siden opprinnelig formel var mA. I en enda mindre målestikk, f.eks. mikrocoulomb får vi $0.05mC=50\mu C.$

c) Om strømmen stopper ved $t=0.5ms$ i stedet for, får vi $q(0.0005)=-\frac{1}{20}e^{-2500\cdot0.0005}-(-\frac{1}{20}e^{-2500\cdot0})=0.03567$ .

Dette er da i mC, som også kan gjøres om til $35.7\mu C$ .

Grunnleggende kretsformler

Definisjoner for spenning, strøm og effekt:

Spenning («voltage»), målt i Volt: $v=\frac{dw}{dq}=w\cdot\frac{d}{dq}$

Strøm («current»), målt i Ampere: $i=\frac{dq}{dt}=q\cdot\frac{d}{dt}$

Effekt («power»), målt i Watt: $p=\frac{dw}{dt}=vi$

Her står w for energi («energy») og måles i Joule. Mens q betyr ladning («charge») og måles i Coulomb. Bokstaven t er for tid, denne oppgis i antall sekunder.

Alle $\frac{d}{dq}$ og $\frac{d}{dt}$ betyr simpelthen «deriver med hensyn på q, t, osv.» … Men hvis man har samme konstante spenning og strøm i regnestykket hele tiden, så kan disse fjernes.

TBC

Lumped-parameter system

Omtrent det første man lærer i et fag for elektriske kretser er at små kretser innenfor en viss størrelse kalles for «lumped-parameter system». (Alternativt kan man benytte «lumped-parameter model».)

Er man så heldig at dette er tilfelle blir det enklere å forholde seg til kretsen: En endring av et signal, i kretsen, forplanter seg så raskt at man i praksis kan late som at det skjer øyeblikkelig, overalt i kretsen.

De fysiske dimensjonene til kretsen er avhengig av frekvensen man opererer med. Til høyere frekvens til fysisk mindre må kretsen være .. Man benytter her først formelen for bølgelengde som utgangspunkt:

$b\o{}lgelengde=\frac{lysets\;hastighet}{frekvens}$

Eksempel: Hvis frekvensen er 10^9 Hz så blir bølgelengden 30 cm. Den fysiske størrelsen på kretsen sies å da måtte være mindre enn 1/10 av dette. Så om bølgelengden er 30 cm blir maks kretsstørrelse 3 cm … (For lysets hastighet kan 3 x 10^8 m/s benyttes.)

I stedet for 1/10 regelen opererer man noen ganger med 1/20. Mao. så må kretsen være enda mindre enn først forventet, dvs. halvparten så stor.

TBC