Resistor

En resistor er en passiv komponent som skaper motstand når en elektrisk strøm forsøker å gå igjennom den. Denne motstanden (resistansen) har måleenhet Ohm ( $\Omega$ ) og kan regnes ut ved å bruke Ohms lov, $R=\frac{v}{i}$ .

Kretssymbolet for resistor:

For resistor a) blir spenningen $v=iR$ . For b) må man henge på et negativt fortegn så spenningen blir $v=-iR$ , fordi den elektriske energien går "feil" veg. (Her brukes passiv komponent fortegn-konvensjonen.)

Man har også ledeevne (konduktans) som er en invers størrelse til resistansen:

$G=\frac{1}{R}$

Her er Siemens (S) eller Mho ( $\Omega^{-1}$ eller $\mho$ ) brukt som måleenhet.

Eksempel: En resistor på $100\Omega$ har en konduktans, $G=\frac{1}{100\Omega}=0.01\Omega^{-1}$ .

Effekt

For å regne ut effekten til en resistor har man en rekke formler man kan benytte:

$p=vi$

$p=i^{2}R$

Sistnevnte kan brukes når spenningen (v) er ukjent. Her setter man rett og slett bare Ohms lov ( $v=iR$ ) inn i $p=vi$ .

Dette gjelder også for kretser med elektrisk energi som går "feil" veg (i følge passiv komponent fortegn-konvensjonen): Ohms lov ( $v=-iR$ ) med negativt fortegn settes inn i $p=-vi$ som også har negativt fortegn. Resultatet blir det samme ( $p=i^{2}R$ ).

Og til slutt effektformler for en resistor, ved å benytte spenning og konduktans:

$p=\frac{v^{2}}{R}$

$p=v^{2}G$

$p=\frac{i^{2}}{G}$

Notis: Innenfor kretslære benyttes som regel ideelle resistorer. Disse har da en konstant resistans. I virkeligheten derimot finnes det ikke perfekte resistorer, men man kan komme ganske nære. Nært nok til at de små avvikene blir ubetydelige og kan ignoreres.

TBC

Ohms lov

En av de mest grunnleggende og viktige formlene innenfor elektro er Ohms lov:

$v=iR$

Her er v spenning (Volt), i strøm (Ampere) og R motstand (Ohm, $\Omega$ ). Hvis man husker denne sammenhengen kan man også finne strøm ( $i=\frac{v}{R}$ ) og motstand ( $R=\frac{v}{i}$ ), ved å snu på formelen.

Merk: Hvis den elektriske energien flyter "feil veg" i kretsen (i følge passiv komponent fortegn-konvensjonen), dvs. fra minus til pluss, så blir det $v=-iR$ i stedet.

Tips: For å huske Ohms lov trenger du bare å vite hvem Uri Geller er (fyren som mener han har overnaturlige evner). Siden fornavnet hans "URI" gir deg Ohms lov direkte ( $U=RI$ ), da dette er det samme som $v=iR$ .

Ideelle kraftkilder

I en elektrisk krets kan man ha forskjellige typer av kraftkilder. Hvis man har en kraftkilde som alltid opererer med en bestemt spenning eller strøm, så er dette en ideell kraftkilde. (Enten ideell spenningskilde, eller ideell strømkilde.)

Hvis denne kildens konstante spenning eller strøm kan styres via en innmatet spenning eller strøm, så er det snakk om en kontrollerbar kilde. Kretssymbolene for disse fire forskjellige aktive komponentene er da som følger:

Komponent a) er en kontrollerbar spenningskilde, hvor spenningen ut ( $v_{s}$ ) bestemmes av den som kommer inn, $\mu\cdot v_{x}$ . (Her er $\mu$ en konstant.) Komponent b) er samme type kilde, men her bestemmes spenningen ut i stedet av hvor mye strøm som kommer inn. For de to siste er det snakk om strømkilder, hvor c) styres av strøm og d) styres av spenning. Diamantformen er symbol på at det er en avhengig/kontrollerbar kilde.

Man har også ideelle ikke-avhengige (ukontrollerbare) kilder. Kretssymbolene for disse to typene er som følger:

Komponent a) er en ideell spenningskilde, med forhåndsbestemt spenning som ikke kan påvirkes. Mens b) er tilsvarende for strøm. Sirkelen skal symbolisere at det her er snakk om en ikke-avhengig kraftkilde.

Notat: Ideelle kraftkilder er mer eller mindre ganske teoretisk. Ingen elektrisk energikilde er så stabil at den alltid klarer å levere angitt spenning eller strøm uansett last. IMHO.

TBC

Oppgave: Finn effekt og total energi for komponent med periodisk spenning og strøm

En komponent har $v=500e^{-120t}sin(250t)\;V$ og $i=6e^{-150t}sin(250t)\;A$

a) Finn effekten når komponenten absorberer elektrisk energi ved $t=20ms$

b) Finn total energi absorbert av komponenten.

–

Først må vi finne formel for effekt,

$p=vi=500e^{-120t}sin(250t)\;V\cdot6e^{-150t}sin(250t)\;A=3000e^{-270t}sin^{2}(250t)mW$

a) Ved $t=20ms=0.02s$ er effekten $p(0.02)=3000e^{-270\cdot0.02}sin^{2}(250\cdot0.02)mW=102.9mW$

b) For å komme frem til total energi trengs en (integrasjons)formel for energi,

$w=\intop3000e^{-270t}sin^{2}(250t)\;\;\;dt=\frac{50e^{-270t}(-1350sin(500t)+729cos(500t)-3229)}{29061}$

For $w(\infty)$ gir denne,

$\int_{0}^{\infty}vi\;\;dt=[\frac{50e^{-270t}(-1350sin(500t)+729cos(500t)-3229)}{29061}]_{0}^{\infty}=4.3J$

Oppgave: Maks-, min.- og snitteffekt for komponent når elektrisk energi er periodisk

Fra tiden $t=0$ har man for en komponent, $v=260cos(850\pi t)V$ og $i=9sin(850\pi t)A$ .

a) Finn makseffekt (p) når elektrisk energi absorberes av komponenten.

b) Finn makseffekt (-p) når komponenten i stedet produserer elektrisk energi.

c) Finn gjennomsnittlig effekt (p) for intervallet $0\leq t\leq3ms$

d) Finn gjennomsnittlig effekt (p) for intervallet $0\leq t\leq16.525ms$

–

Først må vi finne formelen for effekt, $p=260cos(850\pi t)V\cdot9sin(850\pi t)A=2340sin(850\pi t)cos(850\pi t)W$

a) og b): For å finne maks og minimum må p deriveres og settes lik 0, da kan man løse for t. Da gir $p'=0$ to verdier, $t_{maks}=\frac{n}{850}-\frac{3}{3400}$ og $t_{min}=\frac{n}{850}-\frac{1}{3400}$ , med $n\in Z$ (som betyr at n er et helt tall).

For $n=1$ og da $t_{maks}=\frac{1}{850}-\frac{3}{3400}=2.9\cdot10^{-4}$ , blir $p_{maks}=p(2.9\cdot10^{-4})=1170W$

Tilsvarende for $t_{min}=\frac{1}{850}-\frac{1}{3400}=8.8\cdot10^{-4}$ , får man $p_{min}=p(8.8\cdot10^{-4})=-1170W$

c) For å finne snitteffekt når $0\leq t\leq3ms$ : $p_{snitt}=p(3\cdot10^{-3})=\frac{\intop_{0}^{3\cdot10^{-3}}2340sin(850\pi t)\cdot cos(850\pi t)dt}{3\cdot10^{-3}}=142.47W$

d) Og for $0\leq t\leq16.525ms$ er snittet: $p_{snitt}=p(16.525\cdot10^{-3})=\frac{\intop_{0}^{16.525\cdot10^{-3}}2340sin(850\pi t)\cdot cos(850\pi t)dt}{16.525\cdot10^{-3}}=0.56W$

Oppgave: Finn total effekt i en krets

Bruk passiv komponent fortegn-konvensjonen for å finne ut hvor mye effekt som utvikles i en enkel elektrisk krets med 6 stk. komponenter:

Hvordan den elektriske energien flyter, og hva som er pluss- og minuspol på de ulike komponentene, er klart merket.

Tabell med oversikt over hvilken spenning og strøm hver komponent har:

Utfordringen kommer i å fastslå type for hver komponent. Deretter er utregningen for effekt, $p=vi$ eller $p=-vi$ enkel:

Siden elektrisk energi produsert må tilsvare det som faktisk er brukt, blir totalsummen lik 0. Dette er grei sjekk å gjøre etter man er ferdig. Hvis totalsum er noe annet enn 0 betyr det at opplysningene har minst èn feil.

Og for å svare på det oppgaven spør om: I denne kretsen produseres det 420 mW. Samme som også blir brukt, siden totalsummen er 0.

Passiv komponent fortegn-konversjon

Når man har å gjøre med design av elektriske kretser eller rett og slett bare kretsteori, vil man før eller senere komme borti den passive komponent tegn-konversjonen. På engelsk er dette «Passive sign convention»: https://en.wikipedia.org/wiki/Passive_sign_convention

Denne sier at elektrisk energi som strømmer inn i en komponent – fordi komponenten bruker strøm, har positivt fortegn. Effekten er da $p=vi$ og det sies at komponenten er passiv. Det er da gitt at hvis kraften i stedet strømmer ut – fordi komponenten produserer strøm, så er det en aktiv komponent. Da blir fortegnet for effekt negativt, $p=-vi$ .

To "enkle" illustrasjoner som gjør dette lett å huske/forstå hvis man allerede har lært om elektroner og positiv ladning:

I a) så strømmer den elektriske energien inn i en komponent, via plusspolen. Så her må det være snakk om en passiv komponent. Da er effekten, $p=vi$ . For b) strømmer den elektriske energien i andre retningen, ut av komponenten. Så da må det være snakk om en aktiv komponent. Effekten får da et negativt fortegn, $p=-vi$ .

Men så blir det litt verre. Hva om elektrisk energi går inn eller ut via minuspolen:

For c) blir det på en måte samme retning på flyten som i a), dermed må det være snakk om en passiv komponent, så $p=vi$ . I illustrasjon d) blir det omvendt, så da er det en aktiv komponent og $p=-vi$ .

Jeg vet ikke helt hvor viktig denne kunnskapen er i praksis når man skal designe eller forstå en krets, men siden den vies tid i lærebøker/oppgaver er det ingen vei utenom.

TBC

Elektroner og positiv ladning

At elektroner flytter seg fra minuspolen til plusspolen er enkelt å fatte, det er litt verre å se for seg at det samtidig går en positiv ladning i andre retningen:

Om man forstår denne sammenhengen så er det mye lettere å komme inn i passiv komponent fortegn-tankegangen senere.

Oppgave: Hvor mye energi har et elektron i et batteri?

Hvor mye energi er formidlet til et elektron som beveger seg gjennom et 1.5V batteri?
–
Et elektron har ladningen $q=1.60217663\cdot10^{-19}$ C. Definisjonen/formelen for spenning $(v=\frac{dw}{dq})$ kan benyttes. Men siden spenning og strøm vil være ganske stabilt, kan formelen forenkles før man snur på den for å få w alene:

$w=v\cdot q=1.5V\cdot1.60217663\cdot10^{-19}C=2.403264945\cdot10^{-19}$ joules.

Oppgave: Finn antall elektroner ved et punkt i en krets

I en krets er strømmen $i=35\mu A$ . Hvor mange elektroner beveger seg forbi et bestemt punkt per sekund?

–

Per definisjon så tilsvarer $1A=6.24\cdot10^{18}$ elektroner per sekund. En strøm på kun $i=35\mu A=35\ \cdot10^{-6}A=0.000035A$ , tilsvarer da $2.184\cdot10^{14}$ antall elektroner per sekund.

(Utregning: $35\ \cdot10^{-6}\cdot6.24\cdot10^{18}=35\cdot6.24\cdot10^{12}=2.184\cdot10^{14})$