Oppgave: Motstand i vanskelig krets

En litt verre likestrømskrets, med fem resistorer koblet sammen litt tilfeldig:

Oppgave: Finn motstanden i kretsen ved å forenkle den.

Siden det er resistorer både i serie og parallelt (samtidig), må man først gjøre om kretsen til noe som er litt mer gjenkjennbart ..:

Altså har man to stk. «deltakretser», hvor ene må gjøres om til å bli «Y-krets».

Dette er enkelt hvis man benytter formlene for «Δ-til-Y»:

$R_{1}=\frac{R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{20\cdot28}{20+28+10}=9.66\Omega$
$R_{2}=\frac{R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{20\cdot10}{20+28+10}=3.45\Omega$
$R_{3}=\frac{R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{28\cdot10}{20+28+10}=4.83\Omega$

Resultatet blir en «Y-krets» "oppå" to gjenværende resistorer i parallell:

Med vanlige utregninger for resistorer i parallell og serie, kan kretsen forenkles mer:

Altså er motstanden $R=17.5\Omega$ .

Noe Ohms lov kan bekrefte, $v=iR=2A\cdot17.5\Omega=35V$ .

OBS: Sum spenningsforskjell i kretsen avsløres i illustrasjonene. Men denne opplysningen er ikke gitt som en del av oppgaven, så den må ignoreres ved løsing.

Kretser: Y eller T vs. delta eller pi

For å finne den konkrete størrelsen på motstanden en «deltakrets»/»pikrets» utgjør, kan man gjøre om kretsen matematisk til å bli en «Y-krets»/»T-krets»:

Følgende formler trengs:

$R_{1}=\frac{R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}$
$R_{2}=\frac{R_{c}R_{a}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}$
$R_{3}=\frac{R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}$

Man sitter da igjen med «Y-kretsen» til høyre. Og man trenger kun å finne motstanden i de grenene som går parallelt, før man endelig kan summere det som er i serie.

Å gå den andre veien (Y-til-Δ) er også mulig:

$R_{a}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}$
$R_{b}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}$
$R_{c}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}$

Uansett hvilken krets man ønsker å gjøre om til, så er alle disse formlene ganske repetive. Når man har lært hvordan de bygd opp kan man enkelt finne hver motstand i den kretsen man ønsker å regne seg frem til.

Kretser: Y = T

På bildet nedenfor vises to kretser som har de samme elektriske egenskapene:

Y-krets (etter Y-bokstaven) er den til venstre. Og T-krets (etter T-bokstaven) er den til høyre. Og som du ser kommer kretsnavnet direkte fra dens utseende. Men utseendet i seg selv påvirker ikke hvordan kretsen oppfører seg.

(Og eksempelbildet viser resistorer, men dette kunne vært noe annet.)

Kretser: Delta = pi

En trekantformet krets slik som på bildet nedenfor, kalles ofte en «deltakrets» (etter den greske Δ-bokstaven). Den har de samme elektriske egenskapene som den til høyre, en «pikrets» (etter den greske π-bokstaven):

Navnet kommer som du ser, direkte fra hvordan kretsen fysisk ser ut. (I bildet er det brukt resistorer, men dette er bare et eksempel.) Så lenge punktene a, b og c er adskilt av de samme elektriske komponentene, spiller utseendet ingen rolle.

Finne delspenning fra serieresistans

En alternativ måte å finne delspenning på, i en krets med flere motstander i serie:

$v_{1}=i\cdot R_{1}=v_{s}\cdot\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}+R_{n}}$

Hver motstand i en serie er ansvarlig for et fall i spenning. Og ved å finne ut hvor stor andel en bestemt motstand utgjør, av sum resistans i kretsen, finner man også andel spenningsfall over komponenten. Dette er i tråd med Kirchhoffs spenningslov.

Oppgave: Finn strøm og spenning i en krets med parallelle resistorer

Krets med kun 1 stk. energikilde, men med resistorer som både er i serie og parallelt. I tillegg er de i forskjellige størrelser:

Oppgave: Hvordan finner man strømmer og spenninger her?

Resistans

Man kan være fristet til å behandle $R_{1}+R_{2}$ og $R_{1}+R_{3}$ som egne kretser, tilkoblet samme energikilde. Dessverre blir svaret feil da. Så man må lære formelen for resistans i parallellkoblede resistorer:

$R=\frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{n}}}$

For de to resistorene som er koblet parallelt ( $R_{2}$ og $R_{3}$ ), gir denne formelen dermed resistansen $R_{2+3}=\frac{1}{\frac{1}{40\Omega}+\frac{1} {100\Omega}}=28.57\Omega$ . Og da disse to resistorene er koblet i serie med $R_{1}$ , blir sum motstand i resistorene $R=R_{1}+R_{1+2}=34.6\Omega$ .

Strøm og spenning

For å finne strøm stokker man om på Ohms lov, $i=\frac{v}{R}=\frac{60V}{34.6\Omega}=1.73A$ . Dette er strømmen frem til node a, for her splittes den. Siden $R_{2}$ er mye mindre enn $R_{3}$ (dvs. strømmen har mindre motstand) kan man trygt anslå at det går mest strøm her. Som illustrert i følgende animasjon:

Men for å finne konkrete strømstørrelser må man først finne delspenninger.

Spenningen over $R_{1}$ hvor faktisk hele strømmen i kretsen går, blir $v_{1}=i\cdot R_{1}=1.73A\cdot6\Omega=10.38V$ . Og med Karchoffs lov for spenning får man da $v=v_{1}+v_{2}=60V=10.38V+v_{2}$ som gir $v_{2}=60V-10.38V=49.62V$ .

Da har man her også funnet $v_{3}$ (som er $v_{0}$ i kretsillustrasjonen over) siden samme delspenning finnes her, så $v_{3}=v_{2}=49.62V$ .

Strømmene $i_{2}$ og $i_{3}$ gjennom $R_{1}$ og $R_{2}$ (altså $i_{a}$ og $i_{b}$ i kretsillustrasjonen), blir dermed $i_{2}=\frac{v_{2}}{R_{2}}=\frac{49.62V}{40\Omega}=1.24A$ og $i_{3}=0.49A$ .

Oppgave: Finn strøm, spenning og effekt i en krets ved hjelp av Kirchhoffs lover (3)

En krets har to stk. resistorer og to stk. ideelle spenning-/strømkilder. Og man blir bedt om å finne strømmer, spenninger og effekter:

Strøm og spenning

Først må man prøve å se for seg i hvilke retninger strømmen flyter i kretsen:

Merk: Her flyter strømmen fra pluss til minus, i tråd med PKF-konvensjonen.

Også må man sette opp likninger med utgangspunkt i Kirchhoffs lover:

Strøm i node a: $i_{s}=30mA=i_{1}+i_{2}$

Spenning over $R_{2}$ blir $v_{2}=v_{s}+v_{i_{s}}$ mens spenningen over strømkilden er $v_{i_{s}}=v_{0}$ .

Ved å stokke om på Ohms lov får man $i=\frac{v}{R}$ . Denne kan settes inn i Kirchhoff-ligningen over for strøm sammen med Kirchhoff-likningen for spenning.

Da får man $30mA=\frac{v_{i_{s}}}{R_{1}}+\frac{v_{s}+v_{i_{s}}}{R_{2}}=\frac{v_{i_{s}}}{6k\Omega}+\frac{8V+v_{i_{s}}}{4k\Omega}$ og $v_{i_{s}}=67.2V$ .

Spenningene over resistorene blir $v_{0}=67.2V$ og $v_{2}=67.2V+8V=75.2V$ .

Mens strømmen blir $i_{1}=\frac{v_{0}}{R_{1}}=\frac{67.2V}{6k\Omega}=11.2mA$ og $i_{2}=\frac{75.2V}{4k\Omega}=18.8mA$ . Til sammen blir dette $30mA$ slik Kirchoffs strømlov sier. (Og det beviser at det ikke ble gjort regnefeil over.)

Effekt

Når spenning og strøm er kjent er det enkelt å finne ut hvor mye energi som faktisk produseres i kretsen:

Spenningskilden yter $p_{v_{s}}=-i_{2}v_{s}=-1\cdot18.8mA\cdot8V=-150.40mW$ og strømkilden $p_{i_{s}}=-i_{s}v_{i_{s}}=-1\cdot30mA\cdot67.2V=-2016mW$ . (Negativt fortegn pga. aktiv komponent, i tråd med PKF-konvensjonen.)

Dette slukes (absorberes) av resistorene som trenger $p_{1}=i_{1}^{2}R_{1}=i_{1}v_{0}=752.64mW$ og $p_{2}=i_{2}^{2}R_{2}=i_{2}v_{2}=1413.76mW$ .

Effekt som ytes i kretsen ( $-2166.4mW$ ) er altså lik effekt absorbert ( $2166.4mW$ ). Hvis ikke ville det vært regnefeil eller feil i oppgavens opplysninger.

Oppgave: Finn strøm, spenning og effekt i en krets ved hjelp av Kirchhoffs lover (2)

Enda en krets med flere forskjellige ideelle spenning-/strømkilder samt 2 stk. resistorer. Og oppgaven er å finne alle strømmer, spenninger og effekter:

Strøm og spenning

Da strømmen for $R_{1}$ er den eneste som er gitt må man begynne her. Spenningen i dette punktet blir $v_{1}=i_{\phi}R_{1}=2A\cdot30\Omega=60V$

Og siden $R_{1}$ og $i_{i}$ utgjør sin egen lukkede krets betyr det at $v_{i_{i}}=v_{1}=60V$ også.

Videre så er $i_{c}=2i_{\phi}=2\cdot2A=4A$ .

Men nå kommer man ikke stort lengre uten å sette opp likninger for spenninger og strømmer, basert på Kirchhoffs lover .. Heldigvis er dette egentlig ganske enkelt. For det som går inn i et punkt må også gå ut igjen på andre siden, altså må det balansere:

Likning for strøm i node a: $i_{i}=i_{\phi}+i_{ab}$ , som gir $i_{ab}=5A-2A=3A$ (strømmen fra node a inn i node b).

Også det samme for strømmen i node d: $i_{\phi}+i_{v_{s}}=i_{i}$ , som gir $i_{v_{s}}=i_{i}-i_{\phi}=5A-2A=3A$ .

Nå begynner det å hjelpe på, for med strømmen $i_{v_{s}}$ kjent (og hvilken retning) så kan man endelig finne for node c.

Og her får man $i_{c}=i_{v_{s}}+i_{2}$ og dermed $i_{2}=i_{c}-i_{v_{s}}=2i_{\phi}-i_{v_{s}}=2\cdot2A-3A=1A$ .

Dette stemmer med strømmen i node b, gitt ved $i_{ab}+i_{2}=i_{c}\rightarrow3A+1A=4A$ .

Så da er alle strømmene kjent og man kan enkelt finne spenningene over de resterende komponentene: $v_{2}=i_{2}R_{2}=1A\cdot10\Omega=10V$ , noe som betyr at $v_{s}=v_{1}+v_{2}=70V$ (Kirchoffs spenningslov).

Og siden $R_{2}$ utgjør en egen krets med $i_{c}$ blir $v_{i_{c}}=v_{2}=10V$ . (Kirchhoff igjen.)

Det hjelper å tegne retningen på strømmene når man gjør slike oppgaver:

Likningene basert på Kirchhoffs lover blir da enda mer opplagte.

Effekt

Alle strømmer og spenninger er nå kjent. Dermed trenger man kun benytte effektformelen ( $p=iv$ ), for å finne ut hvor mye energi hver komponent absorberer eller produserer.

Resistorene absorberer $p_{1}=i_{\phi}v_{1}=2A\cdot60V=120W$ og $p_{2}=10W$ .

Siden strømmen går inn på plusspolen på $v_{s}$ , absorberer også denne komponenten energi (i følge PKF-konvensjonen). Dette gir $p_{v_{s}}=i_{s}v_{s}=3A\cdot70V=210W$ .

Produsert energi er $p_{i_{i}}=-i_{i}v_{i_{i}}=-1\cdot5A\cdot60V=-300W$ og $p_{i_{c}}=-i_{c}v_{i_{c}}=-2i_{\phi}\cdot v_{i_{c}}=-1\cdot2\cdot2A\cdot10V=-40W$ .

Energien absorbert (340W) stemmer altså med energien som er produsert (340W).

Oppgave: Finn strøm, spenning og effekt i en krets ved hjelp av Kirchhoffs lover (1)

En krets med flere ideelle spenning-/strømkilder og 3 stk. resistorer. Hvor man bes om å finne strømmer, spenninger og total effekt:

Strøm og spenning

Først noen Kirchhoff-likninger hvor man deler opp i 2 kretser:

(1) $v_{s_{5V}}+v_{s_{1V}}=v_{1}+v_{2}$ er for kretsen til venstre. $v_{1}$ og $v_{2}$ er de ukjente spenningene over $R_{1}$ og $R_{2}$ .

(2) $v_{s_{8V}}+v_{i_{s}}=v_{3}+v_{2}$ er for kretsen til høyre. $v_{3}$ er for den ukjente spenningen over $R_{3}$ .

Strømmen gjennom $R_{2}$ må bli $i_{2}=i_{1}+30i_{1}=31i_{1}$ i tråd med Kirchhoffs lov for strømbalanse.

Nå oppstår det raskt et problem siden Kirchhoffs lover bruker strøm (i) og spenning (v). Og disse størrrelsene er jo ukjente. Derfor må Ohms lov ( $v=iR$ ) komme til unnsetning, så man kan skrive om likningene og ta i bruk resistorstørrelsene:

(1) $v_{s_{5V}}+v_{s_{1V}}=v_{1}+v_{2}=i_{1}R_{1}+i_{2}R_{2}$

(2) $v_{s_{8V}}+v_{i_{s}}=v_{3}+v_{2}=i_{3}R_{3}+i_{2}R_{2}$

Ved å sette inn kjente størrelser (f.eks. $i_{2}=31i_{1}$ ) får man løselige likninger:

(1) $5V+1V=i_{1}54k\Omega+31i_{1}\cdot6k\Omega=240i_{1}k\Omega$

(2) $8V+v_{i_{s}}=30i_{1}\cdot1.8k\Omega+31i_{1}\cdot6k\Omega=240i_{1}k\Omega$

(1) $6V=240i_{1}k\Omega$ blir til $i_{1}=\frac{6V}{240k\Omega}=25\mu A$

(2) $8V+v_{i_{s}}=240i_{1}k\Omega$ gir da $v_{i_{s}}=240(25\mu A)k\Omega-8V=6V-8V=-2V$

Med $i_{1}=25\mu A$ får man $i_{2}=31\cdot25\mu A=775\mu A$ og $i_{s}=750\mu A$ .

Delspenningene er $v_{1}=i_{1}R_{1}=25\mu A\cdot54k\Omega=1.35V$ , $v_{2}=4.65$ og $v_{3}=i_{3}R_{3}=750\mu A\cdot1.8k\Omega=1.35V$ .

Siden $5V+1V=1.35V+4.65V$ og $8V-2V=1.35V+4.65V$ så stemmer Kirchhoffs lov om spenning.

Effekt

$p_{v_{s\;5V}}=-i_{1}\cdot v_{s\;5V}=-25\mu A\cdot5V=-125\mu W$ (produsert)

$p_{v_{s\;1V}}=-i_{1}\cdot v_{s\;1V}=-25\mu A\cdot5V=-25\mu W$ (produsert)

$p_{v_{s\;8V}}=-i_{s}\cdot v_{s\;8V}=-750\mu A\cdot8V=-6000\mu W$ (produsert)

Her brukes altså passiv komponent fortegn-konvensjonen, så produsert effekt fra en aktiv komponent får negativt fortegn.

$p_{I_{s}}=-i_{1}\cdot v_{s\;1V}=-30\cdot25\mu A\cdot(-2V)=1500\mu W$ (absorbert)

$p_{1}=i_{1}v_{1}=25\mu A\cdot1.35V=33.75\mu W$ (absorbert)

$p_{2}=i_{2}v_{2}=775\mu A\cdot4.65V=3603.75\mu W$ (absorbert)

$p_{3}=i_{3}v_{3}=750\mu A\cdot1.35V=1012.5\mu W$ (absorbert)

Summert så blir produsert effekt lik absorbert effekt.

Og ”strømkilden” $i_{s}$ viser seg å bruke strøm, i stedet for å lage den ..

Kirchhoffs lover

1. Strømmen inn i et bestemt punkt i en lukket krets vil alltid være lik strømmen som går ut igjen. Summert får man derfor alltid 0:

$i=i_{1}+i_{2}+i_{n}$ gir altså $i-i_{1}-i_{2}-i_{n}=0$

2. Spenningen totalt i en lukket krets er alltid lik summen av spenningsfallene igjennom kretsen. Summert får man derfor alltid 0:

$v=v_{1}+v_{2}+v_{n}$ gir altså $v-v_{1}-v_{2}-v_{n}=0$

Om en av disse lovene ikke gir 0 når man prøver å løse en oppgave, så har man gjort minst èn regnefeil .. Eller så er det feil i opplysningene som benyttes!

Så kan man kanskje spørre seg selv om man virkelig trenger å vite disse lovene, da de virker litt unyttige og opplagte .. Vel, for kretsoppgaver som innebærer likninger er de uunnværlige. Men om man allerede har alle opplysningene for en krets (så man slipper å regne ut noen) trengs de ikke.