Oppgave: Finn makseffekter i krets

Enda en kretsoppgave hvor man må finne Thèvenin-ekvivalenten også effekter:

Oppgaven er i grunn ganske grei å løse, ved å sette opp ligninger for nodespenning.

4.21

a)

I hovedsak må man her finne Thèvenin-ekvivalenten.

Først uten last, for å finne spenning:

$v_{1}=100$

Node 2: $\frac{100-v_{2}}{4}+\frac{v_{3}-v_{2}}{4}=\frac{v_{2}-20}{4}$

Node 3: $\frac{100+(v_{2}-20)-v_{3}}{4}=\frac{v_{3}-v_{2}}{4}$

Dette gir $v_{2}=80V,v_{3}=v_{Th}=120V$ .

Også med kortslutning, for å finne strøm:

$v_{1}=100,v_{3}=0$

Node 1: $i=\frac{100+(v_{2}-20)}{4}+\frac{100-v_{2}}{4}$

Node 2: $\frac{100-v_{2}}{4}=\frac{v_{2}-20}{4}+\frac{v_{2}}{4}$

Dette gir $v_{2}=40V,i=45A$ .
Og dermed $i_{Th}=i-i_{\phi}=45A-\frac{v_{2}-20V}{4\Omega}=45A-5A=40A$ .

Motstanden er da $R_{Th}=\frac{120V}{40A}=3\Omega$ .

b)

Nå gjenstår det å finne makseffekten til lasten $R=3\Omega$ . Dette er ikke $p=iv=40A\cdot120V=4800W$ . For verken Thèvenin-ekvivalenten eller den opprinnelige kretsen klarer å opprettholde så høy spenning ved så høy strøm.

Man må i stedet innlemme $R=3\Omega$ i ligningene, også løse på nytt:

Node 2: $\frac{100-v_{2}}{4}=\frac{v_{2}-20}{4}+\frac{v_{3}-v_{2}}{4}$

Node 3: $\frac{100+(v_{2}-20)-v_{3}}{4}+\frac{v_{3}-v_{2}}{4}=\frac{v_{3}}{3}$

Dette gir $v_{2}=60V,v_{3}=60V$ . Pga. null spenningsfall over $R_{3}=4\Omega$ går det ikke strøm gjennom den, $i=v_{\Delta}R=0V\cdot4\Omega=0V$ .

Med $v_{3}=60V$ er $i_{3\Omega}=\frac{60V}{3\Omega}=20A$ og $p_{3\Omega}=i_{3\Omega}\cdot v_{3}=20A\cdot60V=1200W$ .

4.22

a)

Her trenger man kun å regne ut strømmen i node 1, ved å sette inn nodespenningene fra node 2 og node 3 fra utregningene over, hvor lasten var del av ligningene:

Dette gir $i=\frac{100+(60-20)-60}{4}+\frac{100-60}{4}=30A$ .

Dermed er produsert effekt $p_{100V}=-1\cdot i_{1}v_{1}=-1\cdot30A\cdot100V=-3000W$ .

b)

Strømmen gjennom den spenningsstyrte spenningskilden, blir $i_{ds}=\frac{100+(60-20)-60}{4}=20A$ .

Siden spenningen øker med $v_{\Delta}=v_{\phi}=v_{2}-20V=60V-20V=40V$ , er produsert effekt $p_{ds}=-i_{ds}v_{\Delta}=-1\cdot20A\cdot40V=-800W$ .

c)

Sum effekt produsert er $-3000W+-800W=-3800W$ .

Andelen som når lasten R, er da $p_{3\Omega}=\frac{1200W}{3800W}\thickapprox31.6\%$ .

Oppgave: Finn Thévenin-ekvivalenten for en krets som inneholder en strømstyrt spenningskilde

Følgende krets har en strømstyrt spenningskilde:

Den er del av en lineær krets som kan forenkles, ved å finne Thèvenin-ekvivalenten.

Men siden kretsen har den strømstyrte spenningskilden, får man ikke regnet ut resistans på en enkel måte. Man må i stedet sette opp og løse nodespenningsligninger:

Node 1: $4=\frac{v_{1}}{60}+\frac{v_{1}-v_{2}}{20+R_{d}}$

Node 2: $\frac{v_{1}-v_{2}}{20+R_{d}}=\frac{v_{2}}{80}+\frac{v_{2}}{40}$

Resistansen i spenningskilden: $R_{d}=\frac{160i_{\Delta}}{i_{d}}$

Strømmen gjennom 40R-resistoren: $i_{\Delta}=\frac{v_{2}}{40}$

Strømmen fra node 1 til node 2: $i_{d}=4-\frac{v_{1}}{60}$

Dette gir $v_{1}=172.5V$ og $v_{2}=v_{Th}=30V$ . Som bekreftes ved å teste i en kretsimulator:

Motstanden i den strømstyrte spenningskilden er ca $R_{d}=106.67\Omega$ . Men for å kalkulere maksstrømmen som Thèvenin-ekvivalenten skal kunne levere, må ab-terminalen teoretisk kortsluttes. Da vil resistorene på 80R og 40R forbigås. Og spenningskilden blir inaktiv.

Kun resistorene på 60R og 20R vil da gjenstå. Og gjenværende resistans i kretsen blir $R_{eq}=\frac{1}{\frac{1}{60}+\frac{1}{20}}=15\Omega$ . Spenningen over denne vil være $v=4A\cdot15\Omega=60V$ .

Over 20R-resistoren og dermed ab-terminalen får man da det som er Thèvenin-strømmen, $i_{20\Omega}=i_{Th}=\frac{60V}{20\Omega}=3A$ . Som så gir Thèvenin-kretsresistansen $R_{Th}=\frac{30V}{3A}=10\Omega$ . Dette kan bekreftes ved å benytte Ohmmeter i en kretsimulator – slik som over.

En liten digresjon: Jeg brukte en halv dag på å forstå hvordan denne oppgaven skulle løses riktig. Den har en rekke snubletråder. Forhåpentligvis går det raskere for andre som støter på den. Kretslære er et minst like stort modningsfag som matte ….

Thévenin vs. Norton-ekvivalenter

"Komplekse" kretser med flere energikilder og resistorer kan som regel forenkles.

Thévenin-ekvivalent

I følge Thévenin-teoremet kan en komplisert lineær likestrømskrets bestående av flere energikilder og resistanser, alltid erstattes av -1- energikilde i serie med -1- resistor:

Her er kretsene til venstre, inni boksene, blitt erstattet. Resultatet ser du til høyre.

Merk: Kretsene over er lineære likestrømskretser!

Spenningen mellom nodene a og b når kretsen er åpen, og maksstrømmen når a og b kortsluttes, gir størrelsen på serieresistoren; $R=\frac{v}{i}=\frac{32V}{4A}=8\Omega$ . Dermed har man alle opplysningene som trengs for å bruke Thévenin-ekvivalenten.

Selv om innmaten i boksen er forenklet, er den fortsatt i stand til å levere 4A. Og uten last er spenningen 32V. Dette er identisk med den opprinnelige kretsen. Uansett last mellom a og b ville disse kretsene nå være likeverdige.

De nødvendige opplysningene for å finne Thévenin-ekvivalenten er ikke alltid gitt. Som regel må man gjøre beregninger, f.eks. ved å løse nodespenningligninger. I eksemplet over har man $3=\frac{v_{1}-25}{5}+\frac{v_{1}}{20}$ som gir $v_{1}=32V$ . Og når terminalene a og b kortsluttes gir dette $3=\frac{v_{2}-25}{5}+\frac{v_{2}}{20}+\frac{v_{2}}{4}$ og $v_{2}=16V$ . Maksstrømmen blir derfor $i=\frac{v}{R}=\frac{16V}{4\Omega}=4A$ . Og da kan man finne størrelsen på resistoren også, som allerede gjort over.

Norton-ekvivalent

Et alternativ til Thévenin er Norton. Her benyttes i stedet en strømkilde og resistoren plasseres i serie:

Se forøvrig et annet eksempel på energikildeomgjøring her.

OBS: I praksis bør man ikke kortslutte strømførende terminaler med et amperemeter, bare for å måle maksstrømmen. Er du heldig ryker det bare ei sikring. Men som regel vil elektronikk i stedet gå kaputt. I verste tilfelle kan du starte en brann.

Lineær vs. ikke-lineær krets

Det finnes to hovedtyper av kretser; lineær og ikke-lineær …

Førstnevnte er den "forutsigbare" kretsen som ikke endrer funksjon, selv om spenningen eller strømmen kan gjøre det. Det som kommer inn er proporsjonalt med det som kommer ut. Enkle lommelykter som kun består av batteri, glødepære og bryter har en slik krets. Lysstyrken vil her avta proporsjonalt med batteriets spenning. Det kalles lineær krets fordi det er lineære økninger eller reduksjoner.

Motstykket er ikke-lineære kretser. Her kan det som går ut være helt annerledes enn det som kommer inn. Det trenger ikke være en direkte sammenheng overhodet.

TBC

Omgjøring av energikilder

Komplekse kretser med resistorer kan som kjent forenkles. Men dette gjelder ikke bare resistorer. Det er også mulig å bytte ut spenningskilder med strømkilder eller vice versa:

Sett utenifra (utenfor den stiplede firkanten) er disse kretsene like. Siden lasten på utsiden opplever samme spenning og leder den samme strømmen. (Voltmeter og amperemeter kan ignoreres – dette er kun for å vise spenning og strøm.)

Å gjøre om fra spenningskilde til strømkilde, eller omvendt, krever kun at man kjenner Ohms lov:

Med spenningskilde ( $40V$ ) og resistor ( $5\Omega$ ) i serie, som gitt i illustrasjonen, vil nødvendig strømkilde måtte levere $i=\frac{v}{R}=\frac{40V}{5\Omega}=8A$ . Resistoren ( $5\Omega$ ) forblir uendret, men flyttes på for å komme parallelt med strømkilden.

For å gå den andre veien, finner man nødvendig spenning for spenningskilde med $v=iR=8A\cdot5\Omega=40V$ . Og resistoren $(5\Omega$ ) må flyttes for å komme i serie.

Dette utbyttingstrikset er superkjekt og veldig lett å ta i bruk. Og når det kombineres med andre triks for å forenkle kretser med resistorer, kan man kanskje slippe å løse store ligningssett for maskestrømmer eller nodespenninger.

Oppgave: Bruk forskjellige metoder for å finne strømmer, osv. i en krets

En krets med 1 stk. energikilde og 5 stk. resistorer ser slik ut:

Oppgave: Bruk forskjellige metoder for å finne strømmer, delspenninger, osv.

Her finnes det i hvertfall tre forskjellige løsningsmetoder. Rangert fra lett (men tungvint) først, til mest allsidig sist ..

1. Forenkle kretsen og benytte enkle formler

«Δ-til-Y»-omgjøring

Først må man visuelt endre kretsen, så det blir en «deltakrets» (Δ–krets). Deretter gjør man utregninger for «Δ-til-Y» omgjøring, så man får en tilsvarende «Y-krets» med samme resistansen. Da er videre arbeid lekende lett.

Her er øverste masken vilkårlig valgt for omgjøring:

$R_{1}=\frac{R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{5\Omega\cdot30\Omega}{5\Omega+30\Omega+90\Omega}=1.2\Omega$ $R_{2}=\frac{R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{5\Omega\cdot90\Omega}{5\Omega+30\Omega+90\Omega}=3.6\Omega$ $R_{3}=\frac{R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{30\Omega\cdot90\Omega}{5\Omega+30\Omega+90\Omega}=21.6\Omega$

En visuell sammenligning mellom de to kretsene:

Etter dette er det et par raske utregninger til, for å forenkle kretsen mer. Og deretter kan man finne strøm og effekt.

Finne ekvivalent resistans

For å slå sammen resistorer i serie og parallell:

$R_{2}=R_{2}+R_{4}=3.6\Omega+26\Omega=29.6\Omega$ (en ny større $R_{2}$ resistor)

$R_{3}=R_{3}+R_{5}=21.6\Omega+8\Omega=29.6\Omega$ (en ny større $R_{3}$ resistor)

$R_{2|3}=\frac{1}{\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}}=\frac{1}{\frac{1}{29.6\Omega}+\frac{1}{29.6\Omega}}=14.8\Omega$ $R_{eq}=R_{1}+R_{2|3}=1.2\Omega+14.8\Omega=16\Omega$

Gjenværende arbeid

Nå kan man endelig finne strømmen, som blir $i=\frac{v}{R_{eq}}=\frac{80V}{16\Omega}=5A$ .

Herifra er det lett å regne seg bakover, for å finne delspenninger, grenstrømmer og effekter. Enkelt, men gjerne tidkrevende.

2. Ligningssett for nodespenninger

I den opprinnelige kretsen kan man i stedet finne nodespenningene ( $v_{1},v_{2},v_{3}$ ):

Deretter kan man etterpå finne strøm, effekt, osv.

Kirchhoffs strømlov benyttes for å sette opp ligningene. Men når disse skal settes opp, er det veldig viktig at retningen på strømmen / retningen på spenningsfallene – i kretsen, tas hensyn til. Ellers blir det feil øyeblikkelig. I minste fall må man være konsekvent når man navngir komponenter og regner på spenningsfall.

Lage ligningssett

I kretsen over har man følgende:

Node 2: $\frac{v_{1}-v_{2}}{R_{1}}=\frac{v_{2}}{R_{4}}+\frac{v_{2}-v_{3}}{R_{3}}$ (inn i noden = ut av noden)

Node 3: $\frac{v_{2}-v_{3}}{R_{3}}+\frac{v_{1}-v_{3}}{R_{2}}=\frac{v_{3}}{R_{5}}$ (inn i noden = ut av noden)

For node 1 har man $v_{1}=v_{s}=80V$ som kan leses av direkte.

Løse ligningssettet

Trinn 1 – sette inn kjente verdier

$\frac{80-v_{2}}{5}=\frac{v_{2}}{26}+\frac{v_{2}-v_{3}}{90}$ $\frac{v_{2}-v_{3}}{90}+\frac{80-v_{3}}{30}=\frac{v_{3}}{8}$

Trinn 2 – forenkle ligningssettet

$v_{2}=\frac{37440+26v_{3}}{584}$ ,

$v_{3}=\frac{8v_{2}+1920}{122}$

Trinn 3 – kombinere ligninger og løse

$584v_{2}=37440+26(\frac{8v_{2}+1920}{122})$ blir til $v_{2}=65V$ og $v_{3}=20V$ .

Gjenværende arbeid

Med $i_{1}=\frac{v_{1}-v_{2}}{R_{1}}$ fra ligningssettet som gir $i_{1}=\frac{80V-65V}{5\Omega}=3A$ osv., kan man finne alt det andre. Benytt Ohms lov, effektformelen, osv.

3. Ligningssett for maskestrømmer

Tredje alternativ består av å sette opp ligninger som baserer seg på at kretsen har såkalte «maskestrømmer» ( $i_{a},i_{b},i_{c}$ ):

Hver løkke uten mindre løkker inni seg er en maske. Og hver maske har en strøm .. Dette blir delvis teoretiske strømmer, siden de ikke nødvendigvis lar seg måle i praksis med et amperemeter. Men de er kjekke likevel. Og etterpå kan man finne grenstrømmer osv.

Maskestrømligningene blir først satt opp som om de er egne kretser. Deretter trekker man fra for "overlapp", for de grener som er delt med andre masker.

Lage ligningssett

Maske 1: $80=i_{a}(R_{1}+R_{4})-i_{b}R_{1}-i_{c}R_{4}$

Maske 2: $0=i_{b}(R_{1}+R_{2}+R_{3})-i_{a}R_{1}-i_{c}R_{3}$

Maske 3: $0=i_{c}(R_{3}+R_{4}+R_{5})-i_{a}R_{4}-i_{b}R_{3}$

Ligningene skal selvsagt også oppfylle Kirchhoffs lover.

Løse ligningssettet

Trinn 1 – etter å ha satt inn kjente verdier og summert litt

$80=31i_{a}-5i_{b}-26i_{c}$ ,

$0=125i_{b}-5i_{a}-90i_{c}$ ,

$0=124i_{c}-i_{a}26-i_{b}90$

Trinn 2 – forenkle ligningssettet og kombinere

$i_{a}=\frac{80+5i_{b}+26i_{c}}{31}$ og $i_{a}=\frac{125i_{b}-90i_{c}}{5}$ ,

gir $i_{b}=\frac{2920i_{c}+400}{3850}$ osv. osv.

Til slutt får man $i_{a}=5$ , $i_{b}=2$ og $i_{c}=2.5$ .

Gjenværende arbeid

Man kan nå finne grenstrømmer, delspenninger osv. F.eks. blir $i_{2}=i_{b}=2A$ og $i_{5}=i_{c}=2.5A$ .

Spenningen over hver av disse resistorene blir $v_{2}=i_{2}R_{2}=60V$ og $v_{5}=i_{5}R_{5}=20V$ . Mens effekten blir $p_{2}=i_{2}v_{2}=120W$ og $p_{5}=i_{5}v_{5}=50W$ .

Siden energikilden er del av maske nr. 1, med maskestrøm $i_{a}$ , blir ytet effekt $p_{s}=-i_{a}v_{s}=-1\cdot5A\cdot80V=-400W$ . (Minustegn pga. Passiv komponent fortegn-konvensjonen.)

Det kan skje at man får motstridende ligninger. Eller rett og slett feil svar, som ikke passer når man kontrollregner etterpå .. Da er det enten regnefeil eller feil i oppsatte ligninger. Da blir det på’n igjen ….. helt til du er i mål. Vurder også å ta i bruk kretskalkulatorer som falstad.com. Da er det lettere å sjekke eget arbeid.

Oppgave: Finn nodespenninger ved hjelp av Kirchhoffs strømlov

Ofte kan man ikke forenkle kretser ved å finne en eller flere ekvivalente motstander, da må man beregne nodespenninger via Kirchhoffs strømlov i stedet.

Følgende krets er en slik krets – den lar seg ikke forenkle på vanlig vis:

Oppgave: Finn nodespenningene i 1, 2 og 3.

Dette kan noen ganger kreve litt (eller mye!) prøving og feiling, fordi retningene på strømmene/spenningsfallene i hver gren ofte ikke er gitt. Dermed mangler man informasjon for å kunne sette opp korrekte "Kirchhoff-ligninger".

I oppgaven over kan man anta at strømkilden til venstre kun mater resistoren som er $1\Omega$ . Da dette i en egen krets kunne ville krevd $v=iR=4.5A\cdot1\Omega=4.5V$ .

Spenningskilden til høyre er på hele $30V$ , til sammenligning. Denne vil derfor antagelig dytte strøm til og med igjennom resistoren som er $6\Omega$ . Noe følgende kretskalkulatorvideo bekrefter:

Problemet er at det skal lite til før kretsen oppfører seg annerledes ..

Her følger to illustrasjoner som viser hvor lite resistoren på $1\Omega$ trenger å endres, før kretsen forandrer oppførsel:

Man trenger ikke engang så mye som $10\Omega$ for at oppgaven skal bli en «høne og egget»-situasjon .. I slike tilfeller må man lene seg på kretskalkulatorer som falstad.com, om man ikke har andre metoder.

Løsning for opprinnelig oppgave – med resistor på $1\Omega$ :

Node 1: $4.5A+\frac{v_{2}-v_{1}}{6\Omega}=\frac{v_{1}}{1\Omega}$ (inn = ut)

Node 2: $\frac{v_{3}-v_{2}}{2\Omega}=\frac{v_{2}-v_{1}}{6\Omega}$ (inn = ut)

Node 3: $\frac{30V-v_{3}}{4\Omega}=\frac{v_{3}-v_{2}}{2\Omega}+\frac{v_{3}}{12\Omega}$ (inn = ut)

Dette er et tredelt ligningssett, basert på Kirchhoffs strømlov, som må løses.

Etter noe forenklinger:

$v_{1}=4v_{2}-3v_{3}$ ,

$v_{2}=7v_{1}-27V$ ,

$v_{3}=\frac{6v_{2}+90V}{10}$

Også endelig innsetting:

$v_{1}=4(7v_{1}-27V)-3[\frac{6(7v_{1}-27V)+90V}{10}]$ ,

$v_{1}=28v_{1}-108V+\frac{-126v_{1}+486V-270V}{10}$ ,

$v_{1}=\frac{864V}{144}=6V$ ,

$v_{2}=7(6V)-27V=15V$ ,

$v_{3}=\frac{6(15V)+90V}{10}=18V$

Har man satt opp ligningene feil, fordi man ikke kjenner retninger på strømmer/spenningsfall, vil man få svar som ikke passer. Feil fortegn er nok.

Da gjelder det å bare prøve på nytt, helt til man finner riktige ligninger.

Ordbok for elektriske kretser

Det finnes mange ord og uttrykk som brukes når man skal designe eller regne på elektriske kretser. Her følger ordbok som over tid skal få stadig mer innhold:

Begrep	Definisjon
krets («circuit»)	Sammenhengende strømløp som dannes ved sammenkobling av elektriske komponenter. Kan ha 1 eller flere sløyfer. Da blir dette egne delkretser.
sløyfe («path»)	Komponenter som er knyttet sammen uten at samme komponent forekommer flere ganger.
node	Punkt i sløyfe hvor minst 2 komponenter møtes.
essensiell node («essential node»)	Punkt i sløyfe hvor minst 3 komponenter møtes.
gren («branch»)	Del av sløyfe som knytter sammen to noder.
essensiell gren («essential branch»)	Del av sløyfe som knytter sammen to essensielle noder, uten å gå igjennom annen essensiell node.
løkke	Sløyfe som starter og slutter i samme node. Den er da lukket og kan føre strøm. I motsetning til hvis den er åpen.
maske	Løkke som ikke inneholder andre løkker.
plankrets	En komplett krets som kan tegnes uten grener som krysser hverandre.

TBC

Oppgave: Motstand i vanskelig krets

En litt verre likestrømskrets, med fem resistorer koblet sammen litt tilfeldig:

Oppgave: Finn motstanden i kretsen ved å forenkle den.

Siden det er resistorer både i serie og parallelt (samtidig), må man først gjøre om kretsen til noe som er litt mer gjenkjennbart ..:

Altså har man to stk. «deltakretser», hvor ene må gjøres om til å bli «Y-krets».

Dette er enkelt hvis man benytter formlene for «Δ-til-Y»:

$R_{1}=\frac{R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{20\cdot28}{20+28+10}=9.66\Omega$
$R_{2}=\frac{R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{20\cdot10}{20+28+10}=3.45\Omega$
$R_{3}=\frac{R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}=\frac{28\cdot10}{20+28+10}=4.83\Omega$

Resultatet blir en «Y-krets» "oppå" to gjenværende resistorer i parallell:

Med vanlige utregninger for resistorer i parallell og serie, kan kretsen forenkles mer:

Altså er motstanden $R=17.5\Omega$ .

Noe Ohms lov kan bekrefte, $v=iR=2A\cdot17.5\Omega=35V$ .

OBS: Sum spenningsforskjell i kretsen avsløres i illustrasjonene. Men denne opplysningen er ikke gitt som en del av oppgaven, så den må ignoreres ved løsing.

Kretser: Y eller T vs. delta eller pi

For å finne den konkrete størrelsen på motstanden en «deltakrets»/»pikrets» utgjør, kan man gjøre om kretsen matematisk til å bli en «Y-krets»/»T-krets»:

Følgende formler trengs:

$R_{1}=\frac{R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}$
$R_{2}=\frac{R_{c}R_{a}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}$
$R_{3}=\frac{R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}$

Man sitter da igjen med «Y-kretsen» til høyre. Og man trenger kun å finne motstanden i de grenene som går parallelt, før man endelig kan summere det som er i serie.

Å gå den andre veien (Y-til-Δ) er også mulig:

$R_{a}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}$
$R_{b}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}$
$R_{c}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}$

Uansett hvilken krets man ønsker å gjøre om til, så er alle disse formlene ganske repetive. Når man har lært hvordan de bygd opp kan man enkelt finne hver motstand i den kretsen man ønsker å regne seg frem til.