ADC

Noen ganger er man avhengig av å gjøre analoge signaler om til digitale. Da kommer en analog-til-digital omformer («analog-to-digital converter» – ADC) inn i bildet. Det finnes mange typer selvsagt og noen er mer kompliserte enn andre.

Men de enkle er ganske lette å forstå, man har da bare ett innsignal. Spenningen til dette innsignalet sammenlignes med en referansespenning, som den ikke må overskride; $0<V_{IN}<V_{REF}$ . Da får man et bestemt antall digitale koder. Og hver kode representerer sitt eget analoge spenningsområde.

Kvantisering

Et analogt signal vil derfor alltid se ut som trappetrinn, etter signalet er gjort om til å bli digitalt. Antallet trinn bestemmes av oppløsningen til ADC-en. Høy oppløsning, dvs. høy sensitivitet, gir flere trinn. (Uendelig antall trinn er kun mulig for ideelle ADC-er og disse er teoretiske.)

Eksempel: Om en ADC har en oppløsning på 3-bit, blir antallet trinn lik $2^{3}=8$ . Om referansespenningen er 2V vil hvert trinn, representert av sin egen digitale kode, få et spenningsintervall på $\frac{2V}{8}=0.25V$ . Første trinnet (binærkode 000) blir da 0V-0.25V, andre trinnet (binærkode 001) er 0.251V-0.500V, osv., helt til siste trinnet (binærkode 111) for 1.751V-2V.

Typer

Om et inngangssignal kun kan ha positiv spenning, er ADC-en unipolar. Men hvis negativ spenning også er støttet, er ADC-en i stedet bipolar og man har da tilgang til en binærbit (0 eller 1) som viser polaritet.

En ADC kan også ha en rekke innsignaler i stedet for bare ett. Og noen ganger måler man forskjellen i spenning mellom innsignaler, fremfor å sammenligne en signalspenning med referansespenning.

Feilmarginer

Kvantiseringsfeil

I eksemplet over vil både 0V og 0.25V gi binærkode 000. Dette er en såkalt kvantiseringsfeil og den er åpenbart uheldig. Ønsker man en mer perfekt ADC må man trekke fra et halvt intervall, så hver binærkode i stedet representerer halve intervallet over og under et rundere tall.

Binærkode 000 vil da bli 0V-0.125V, kode 001 blir $0.25V\pm0.125V$ , osv.

Avviksfeil

En annen type feil som ADC-er kan ha, er at de måler feil spenning inn. Dermed gir ADC-en binærkoder som avviker fra det som ville vært riktig. For høye binærkoder – pga. feilmålt for høy spenning, betyr positivt avvik. (Merk: Avviket er positivt, men det betyr ikke at det er bra eller positivt at man faktisk har avvik.)

Ved for lave binærkoder derimot – pga. feilmålt for lav spenning, blir det et negativt avvik. Avvik på engelsk blir «offset», dermed blir avviksfeil til «offset error».

Mange andre former for feil finnes også – TBC.

Se AVR127: Understanding ADC Parameters for kjekke illustrative grafer og oversikt over alle vanlige og forutsigbare feil.

7-segmentdisplay på AVR med C

Etter suksessen med LCD på AVR, var jeg ivrig på å gå i gang med 7-segmentdisplay. Årsaken er at denne type display ofte ble brukt i MacGyver, så jeg fikk tidlig en viss fascinasjon for den.

Valget stod mellom 4-sifret og 1-sifret display. Jeg valgte 4-sifret fordi dette displayet ganske opplagt har flere bruksområder. Man kan vise tellere, klokka, temperatur, turtall, ja i grunn det meste.

Teori

Forskjellen mellom 4-sifret og 1-sifret er ikke stor, de kobles omtrent likt. De har samme antallet segmenter og kommer med felles katode(r) eller felles anode(r).

Segment

Hvert segmentdisplay har 7+1 lysdioder fordi hver strek (7 til sammen) har hver sin diode og dermed sin egen pinne. I tillegg kommer desimalpunktet som benyttes for å vise desimaltall:

Så for å vise forskjellige tall trenger man bare å tenne de riktige diodene. Rekkefølge har ingenting å si. Tallet 8 vil f.eks. benytte alle diodene (ABCDEFG), mens tallet 1 kun benytter B og C. Osv.

Trenger man å vise bokstaver eller mer kompliserte tegn, må man i stedet benytte minst 14-segmentdisplay eller noe lignende. Da blir det enda flere segmenter og pinner å holde styr på.

Fortsett å lese 7-segmentdisplay på AVR med C

Oppgave: Finn spenninger og energi konsumert i RL-krets

Det antas at bryteren i denne RL-kretsen slås over etter spolen har samlet opp maks energi. Spenningen over spolen, eller mer riktig spenningsfallet, er da blitt null. Den skaper ikke lenger resistans, men heller kortslutning.

Det betyr at eneste motstand strømmen $(i_{s}=6.4A)$ har, er resistorene $10\Omega$ og $6\Omega$ rett før bryteren åpnes.

Startstrømmen i spolen etter bryteren trykkes ( $t>0$ ):

$I_{0}=\frac{10\Omega}{10\Omega+6\Omega}\cdot6.4A=4A$ (strøminversformelen)

Mens resistansen blir:

$R_{eq}=4\Omega|(6\Omega+10\Omega)=4\Omega|16\Omega=3.2\Omega$

Strømmen og spenningen for spolen ( $t>0$ ) er dermed:

$i_{L}(t)=I_{0}\cdot e^{-(R/L)t}A=4\cdot e^{-(3.2/0.32)t}A$ $v_{L}(t)=L\frac{di}{dt}=0.32H\cdot\frac{d}{dt}i(t)=-12.8e^{-10t}V$

Spenningen $v_{0}$ må bli:

$v_{0}(t)=\frac{10\Omega}{10\Omega+6\Omega}\cdot-12.8e^{-10t}V=-8e^{-10t}V$

Energi i spolen etter bryteren trykkes ( $t>0$ ):

$w_{L}(\infty)=\int_{0}^{\infty}i_{L}(t)\cdot v(t)\cdot dt=2.56J$

Energi benyttet av resistoren $4\Omega$ :

$w_{R4\Omega}(\infty)=\int_{0}^{\infty}\frac{v_{L}(t)}{4\Omega}\cdot v_{L}(t)\;dt=2.048J$

I prosent får man:

$\frac{w_{R4\Omega}}{w_{L}}=\frac{2.048J}{2.56J}=0.8\rightarrow80\%$ .

Altså går mesteparten av energien i spolen til resistoren $4\Omega$ etter bryteren trykkes.

RL-krets

En RL-krets består av en energikilde, en resistor og en induktor (spole). Når energikilden er tilkoblet vil induktoren bygge opp en viss energi. Denne vil brukes opp av resistoren hvis energikilden kobles ut.

Mao. kan man en kort periode overleve uten å være tilkoblet en energikilde.

Strømmen etter utkoblingen blir som følger:

$i(t)=I_{0}\cdot e^{-(R/L)t}$ når $t\geq0$

Størrelsen $I_{0}$ er startstrømmen som induktoren yter, rett etter energikilden er koblet fra. Denne er like stor som før utkoblingen, fordi strøm gjennom en induktor ikke kan forandre størrelse brått. Etter utkoblingen avtar strømmen eksponentielt og blir null. Om man ønsker å finne spenningen for dette tidsrommet benyttes Ohms lov.

Med like stor strøm gjennom induktoren før og etter utkobling, er det lett å anta at spenningen også er den samme. Men det er den ikke. Før utkobling – hvis maks energi er oppsamlet i induktoren, så er spenningen null. Altså er det ikke noe spenningsfall, men dette forandrer seg øyeblikkelig når $t>0$ .

Energien absorbert av resistoren etter energikilden er frakoblet blir:

$w(t)=\frac{1}{2}L\cdot I_{0}^{2}\cdot(1-e^{-2(R/L)t})$

TBC

Oppgave: Finn spenning i kondensator tilkoblet pulserende strømkilde

Løsning

Først kan man notere seg de gitte opplysningene:

$C=0.1\cdot10^{-6}F$ .

$v_{0}=15V$

Strøm

Fra bildet over kan man avlese strømmen i hvert intervall. Denne er oppgitt i mA, mens t (for tid) er i mikrosekunder:

$i(t)=\begin{array}{ccc} -50 & , & 0\leq t\leq10\\ 100 & , & 10\leq t\leq20\\ 160 & , & 20\leq t\leq40\\ 0 & , & 40\leq t\leq\infty \end{array}$

Merk: Startspenningen $v_{0}=15V$ er oppgitt i Volt (V) og ikke milliVolt (mV). Så man må bli kvitt strømmens mA størrelse, før den skal brukes til å finne V:

$i(t)=\begin{array}{ccc} \frac{-50}{1000} & , & 0\leq t\leq10\\ \frac{100}{1000} & , & 10\leq t\leq20\\ \frac{160}{1000} & , & 20\leq t\leq40\\ \frac{0}{1000} & , & 40\leq t\leq\infty \end{array}$

Her er strømmen i hvert intervall nå oppgitt i Ampere (A). Så da er vi klare for å endelig finne spenningen!

Spenning

Formel $v=\frac{1}{C}\int_{t_{0}}^{\;t}idt+v_{t_{0}}$ benyttes for å finne spenning fra strøm. Bokstaven $i$ erstattes med korrekt størrelse over.

Første intervall

I første intervallet er strømmen $i_{1}(t)=\frac{-50}{1000}A$ .

Dette gir $v_{1}(0,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{0}^{\;t}(\frac{-50}{1000})dt+15=15-5\cdot10^{5}t$

Størrelsen $v_{t_{0}}=15V$ var her allerede opplyst, så arbeidet ble lettere.

Andre intervall

For å finne spenningen for resterende intervall må $v_{t_{0}}$ beregnes. Altså spenningen på slutten av forrige intervall.

Og for første intervallet er spenningen på slutten:

$v_{t=10\mu s}=v_{1}(10)=15-(5\cdot10^{5})\cdot(10\cdot10^{-6})=10V$

Dermed blir spenningen i andre intervallet:

$v_{2}(10,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{10\cdot10^{-6}}^{\;t}(\frac{100}{1000})dt+10=10^{6}t$

Tredje intervall

Spenningen på slutten i andre intervallet:

$v_{t=20\mu s}=v_{2}(20)=10^{6}\cdot(20\cdot10^{-6})=20V$

Spenningen i tredje intervallet:

$v_{3}(20,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{20\cdot10^{-6}}^{\;t}(\frac{160}{1000})dt+20=1.6\cdot10^{6}t-12$

Fjerde intervall

Spenningen på slutten i forrige (tredje) intervall:

$v_{t=40\mu s}=v_{3}(40)=1.6\cdot10^{6}\cdot(40\cdot10^{-6})-12=52V$

Spenningen i fjerde og siste intervall:

$v_{4}(40,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{40\cdot10^{-6}}^{\;t}(\frac{0}{1000})dt+52=52V$

Resultat

Oppsummert blir spenningen i intervallene som følger:

$v(t)=\begin{array}{ccc} 15-5\cdot10^{5}t & , & 0\leq t\leq10\\ 10^{6}t & , & 10\leq t\leq20\\ 1.6\cdot10^{6}t-12 & , & 20\leq t\leq40\\ 52 & , & 40\leq t\leq\infty \end{array}$

Graf som viser spenningen:

Oppgave: Finn strøm, effekt og energi for kondensator på 200 uF

Løsning

Først må man finne spenningen for de bestemte intervallene:

$t<0, v(t)=0$ ,
$0\leq t\leq2s, v(t)=10t$ ,
$2s\leq t\leq6s, v(t)=-10t+40$ ,
$6s\leq t\leq8s, v(t)=10t-80$ ,
$t>8s, v(t)=0$

Strømmen finner man med $i(t)=C\frac{d}{dt}v(t)$ . Dette er kapasitans ganget med den deriverte av spenningen over tid:

$t<0, i(t)=0$
$0\leq t\leq2s, i(t)=\frac{200}{1000000}\frac{d}{dt}10t=\frac{2}{1000}$
$2s\leq t\leq6s, i(t)=\frac{200}{1000000}\frac{d}{dt}(-10t+40)=-\frac{2}{1000}$
$6s\leq t\leq8s, i(t)=\frac{200}{1000000}\frac{d}{dt}(10t-80)=\frac{2}{1000}$
$t>8s, i(t)=0$

Effekt og energi blir $p(t)=v(t)\cdot i(t)$ og $w(t)=\frac{1}{2}Cv^{2}$ , hvor man enkelt setter inn riktige opplysninger og formler fra over.

Graf som viser effekt:

Graf som viser både effekt og energi:

Når energien i kondensatoren øker ( $0\leq t\leq2$ og $4\leq t\leq6$ ), betyr dette at energi absorberes av kondensatoren. Når energien tømmes ( $2\leq t\leq4$ og $6\leq t\leq8$ ) betyr dette at energi i stedet ytes.

Kondensator

For å kortvarig oppbevare elektrisk energi i en elektrisk krets benyttes en kondensator (på engelsk «capacitor»). Dette er en mye brukt type komponent med flere bruksområder.

Vanligvis består den av to metallplater, separert av et isolasjonsmateriale. Det går ikke strøm mellom platene, i stedet hopper det over ladning etter denne har bygget seg opp på platene. Platene får forskjellig polaritet, så ene blir positiv og den andre negativ.

Formler

Når man regner på kondensatorer må man forholde seg til tid. Som regel brukes bokstaven t. Som med induktorer forholder man seg også her gjerne til millisekunder og området $t>0$ .

Kapasitans

Ladningkapasiteten bestemmes av dens kapasitans (C). Denne oppgis i en tallstørrelse, med Farad (F) som måleenhet. Siden kapasitans på 1 F er ganske mye, ser man ofte tilsynelatende små kondensatorer med mikrofarad ( $\mu F$ ) kapasitans eller mindre.

Sammenlignet med resistorer og induktorer er det vanskelig å se for seg hvordan kondensatorer virker. Spesielt når de er koblet i serie eller parallelt. Men man kan sammenligne med kanallåser, dvs. sluser som veldig sakte slipper store skip eller båter gjennom kanaler, hvor det er forskjellige vannivåer:

Å slippe gjennom en slik sluse kan være en tidkrevende prosess. Så det er ganske opplagt at kanallåser (kondensatorer) i parallell vil øke kapasiteten. Som på bildet, hvor det er 2 stk. sluser rett siden av hverandre. Formelen for kapasitansen blir da, $C_{eq}=C_{1}+C_{2}+C_{n}$ .

Kanallåser (kondensatorer) i serie vil derimot gjøre til at tempoet blir tregere, formel:

$C_{eq}=\frac{1}{\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{n}}}$

Strøm

Strømmen en kondensator kan yte fra terminalene, bestemmes av kapasitansen og spenningsendring:

$i(t)=C\frac{dv}{dt}$

Her er $\frac{dv}{dt}$ endringen i spenning over tid over kondensatoren. Til høyere denne er, til høyere blir strømmen som kondensatoren kan yte.

Spenning

Fra strømmen kan man finne spenningen:

$v(t)=\frac{1}{C}\int_{0}^{\;t}i(t)dt+v_{0}$

Her er $v_{0}$ spenningen på startøyeblikket.

Effekt og energi

$p(t)=v(t)\cdot i(t)$ er den kjedelige effektformelen.

$w(t)=\frac{1}{2}Cv(t)^{2}$ er energien i kondensatoren.

Induktor

En induktor (på engelsk «inductor») er en elektrisk komponent som skaper et magnetfelt rundt seg, når strømmen gjennom komponenten endrer seg i størrelse. Magnetfeltet som skapes kan levere energi til andre komponenter som er nære.

Et mer vanlig navn – et navn som brukes i praksis, er spole. Dens konstruksjon er veldig enkel. Man lager viklinger av kobbertråd, rundt en kjerne som gjerne er av et magnetisk metall. Størrelse, antall viklinger, materialvalg, osv. er avhengig av bruksområde.

Formler

For å regne på induktorer må man først vite at det inngår en variabel for tid. Og som regel brukes bokstaven/symbolet t. Her forholder man seg gjerne til millisekunder og området $t>0$ .

Induktans

Komponentens evne til å skape magnetfeltet oppgis som en tallstørrelse, med måleenhet Henry (H). Dette er induktansen til induktoren, ofte med symbol L når man gjør utregninger. Til høyere induktansen (L) er, til kraftigere blir magnetfeltet. Dette betyr også mer motstand (resistans) og høyere spenningsfall.

Induktorer minner litt om resistorer. Når de er koblet i serie kan man intuitivt summere induktansen med $L_{eq}=L_{1}+L_{2}+L_{n}$ . Og hvis de i stedet er koblet parallelt blir det $L_{eq}=\frac{1}{\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{n}}}$ .

Spenning

Siden komponenten skaper motstand blir det et spenningsfall over den:

$v(t)=L\cdot\frac{di}{dt}$

Spenning(sfallet) er lik induktansen L ganget med $\frac{di}{dt}$ , som er endringen i strømstørrelse (dvs. den deriverte av strømmen) for et gitt øyeblikk.

Strøm

Om formel for strøm er ukjent, kan man finne den hvis formel for spenning er kjent:

$i(t)=\frac{1}{L}\int_{0}^{\;t}v(t)\;dt+i_{0}$

Her er $i_{0}$ strømmen som eksisterer i startøyeblikket, når $t=0$ eller ved senere valgt tidspunkt.

Effekt og energi

To andre formler man også kan få bruk for:

$w(t)=\frac{1}{2}Li(t)^{2}$ som er energien i induktoren.

$p(t)=i(t)\cdot v(t)$ som er den vanlige effektformelen.

Eksempel

En strømkilde genererer en strøm $i=10te^{-5t}A.$ Denne strømkilden er koblet til en induktor med induktans $L=100mH$ .

a) Lag en graf som viser strømmen

Graf som viser strømmen $i=10te^{-5t}A$ :

b) På hvilket tidspunkt er strømmen størst?

Strømmen er størst i det øyeblikket strømmen går fra positiv økning til negativ. Makspunktet (dvs. snupunktet) vil derfor være når strømmens deriverte er lik 0.

Den deriverte av $i=10te^{-5t}$ er $i'=10te^{-5t}\frac{d}{dt}=10\cdot e^{-5t}(1-5t)$ .

Ved å sette $i'=10\cdot e^{-5t}(1-5t)=0$ får man $t=\frac{1}{5}s=0.2s$ . Altså er strømmen størst etter 0.2 sekunder.

c) Uttrykk spenningsfallet som en funksjon av tid

Her kommer formelen lenger opp inn i bildet.

Spenningsfallet over induktoren blir $v=L\cdot\frac{di}{dt}=0.1\cdot10e^{-5t}(1-5t)V=e^{-5t}(1-5t)V$ .

d) Lag en graf som viser spenningen

Graf som viser spenningen $v=e^{-5t}(1-5t)V$ :

e) Er spenningen og strømmen størst samtidig?

Nope. Spenningen er størst til å begynne med, når strømmen øker raskest. I det øyeblikket strømmen er på maks og snur (med endring lik 0), er spenningsfallet 0.

f) På hvilket tidspunkt endrer spenningen polaritet?

Spenningen endrer polaritet i samme øyeblikk strømmen begynner sin reduksjon. Dette er altså etter 0.2 sekunder.

g) Finnes det noen øyeblikk hvor spenningen endres drastisk over induktoren?

Tja. Akkurat i starten når strømkilden begynner å jobbe går spenningsfallet øyeblikkelig til 1V. Som allerede vist i grafen.

Matematisk får man nøyaktig samme svar:

$v=e^{-5t}(1-5t)V$ med $t=0$ gir $v=e^{-5\cdot0}(1-5\cdot0)V=1V$

Operasjonsforsterker

Innenfor analog elektronikk er behandling av signaler et viktig felt. Her kommer operasjonsforsterkeren inn i bildet. På engelsk er dette «operational amplifier», med «op amp» som en mye brukt forkortelse – også på norsk.

Jobben til denne komponenten er å forsterke et signal som gis til den. Mer konkret er det differansen i spenning på inngangene som forsterkes. Signalet inn kan også inverteres, da får spenningen på utgangssignalet motsatt fortegn.

Operasjonsforsterkeren er en mye brukt komponent som masseproduseres og brukes i alt mulig rart utstyr i dagens samfunn.

Feedback

Siden mange operasjonsforsterkere kan forsterke svært mye, betyr det at de er veldig sensitive og trenger en form for «feedback» som demper inngangssignalet:

Hvis inngangssignalet IKKE dempes vil utgangssignalet som regel bli begrenset av maksspenningen som operasjonsforsterkeren klarer å yte. Dette er driftsspenningen og vanligvis mindre enn 20V. Alt over dette nivået "klippes" bort og gjør utsignalet rimelig ubrukelig.

Arbeidsområde

Når en operasjonsforsterker produserer et utsignal (med enten positiv eller negativ spenning) og denne er lavere enn driftsspenningen, sies det at den opererer innenfor sitt lineære arbeidsområde .. En endring i inngangssignalet vil da også gi en endring i utgangssignalet.

Formler

Innenfor det lineære arbeidsområdet er det så liten spenningsdifferanse på inngangene at man kan sette $v_{p}=v_{n}$ . Altså sier man at spenningen er lik på inngangene. Dette forenkler utregningene betydelig.

Trenger man å sette opp Kirchhoff-ligninger for strøm kan man også anta at strøm inn på signalinngangene er 0. Men den er ikke nødvendigvis 0 på utgangen.

Velger man å forholde seg til disse forenklingene betyr det at man behandler operasjonsforsterkeren som om den var ideell (dvs. perfekt). Oppsiden er at det blir mindre hodebry når man skal regne. Nedsiden er at svaret kanskje kan avvike litt, eller bittelitt, fra det som ville vært tilfellet i virkeligheten.

Fortsett å lese Operasjonsforsterker

Oppgave: Definer opampkonfigurasjon og finn arbeidsområdet

Oppgave

Løsning

a)

Her kan man enkelt se at det er tilknyttet spenningskilder til den ikke-inverterende inngangen på forsterkeren. Og siden det er to stk. av disse, blir dette da en såkalt summerende konfigurasjon.

Konklusjon: Summerende ikke-inverterende operasjonsforsterkerkonfigurasjon.

b)

Her får man to ligninger:

$v_{n}=v_{o}\frac{24k}{24k+96k}=0.2v_{o}$ (øverste gren, med feedback)

$\frac{5-v_{p}}{16k}+\frac{v_{s}-v_{p}}{24k}\approx0$ (nederste gren, med innsignal)

Hvis man antar at forsterkeren er i det lineære arbeidsområdet, kan man sette $v_{p}\approx v_{n}$ og forenkle samt kombinere ligningene. Da får man:

$v_{o}=\frac{16000v_{s}+120000}{8000}$

c)

For å være i det lineære arbeidsområdet må $v_{o}$ være innenfor $v_{cc}\pm10$ . Da må man finne maks og minimum for $v_{s}$ som gir dette resultatet: