Oppgave: Finn spenninger og energi konsumert i RL-krets

Det antas at bryteren i denne RL-kretsen slås over etter spolen har samlet opp maks energi. Spenningen over spolen, eller mer riktig spenningsfallet, er da blitt null. Den skaper ikke lenger resistans, men heller kortslutning.

Det betyr at eneste motstand strømmen $(i_{s}=6.4A)$ har, er resistorene $10\Omega$ og $6\Omega$ rett før bryteren åpnes.

Startstrømmen i spolen etter bryteren trykkes ( $t>0$ ):

$I_{0}=\frac{10\Omega}{10\Omega+6\Omega}\cdot6.4A=4A$ (strøminversformelen)

Mens resistansen blir:

$R_{eq}=4\Omega|(6\Omega+10\Omega)=4\Omega|16\Omega=3.2\Omega$

Strømmen og spenningen for spolen ( $t>0$ ) er dermed:

$i_{L}(t)=I_{0}\cdot e^{-(R/L)t}A=4\cdot e^{-(3.2/0.32)t}A$ $v_{L}(t)=L\frac{di}{dt}=0.32H\cdot\frac{d}{dt}i(t)=-12.8e^{-10t}V$

Spenningen $v_{0}$ må bli:

$v_{0}(t)=\frac{10\Omega}{10\Omega+6\Omega}\cdot-12.8e^{-10t}V=-8e^{-10t}V$

Energi i spolen etter bryteren trykkes ( $t>0$ ):

$w_{L}(\infty)=\int_{0}^{\infty}i_{L}(t)\cdot v(t)\cdot dt=2.56J$

Energi benyttet av resistoren $4\Omega$ :

$w_{R4\Omega}(\infty)=\int_{0}^{\infty}\frac{v_{L}(t)}{4\Omega}\cdot v_{L}(t)\;dt=2.048J$

I prosent får man:

$\frac{w_{R4\Omega}}{w_{L}}=\frac{2.048J}{2.56J}=0.8\rightarrow80\%$ .

Altså går mesteparten av energien i spolen til resistoren $4\Omega$ etter bryteren trykkes.

RL-krets

En RL-krets består av en energikilde, en resistor og en induktor (spole). Når energikilden er tilkoblet vil induktoren bygge opp en viss energi. Denne vil brukes opp av resistoren hvis energikilden kobles ut.

Mao. kan man en kort periode overleve uten å være tilkoblet en energikilde.

Strømmen etter utkoblingen blir som følger:

$i(t)=I_{0}\cdot e^{-(R/L)t}$ når $t\geq0$

Størrelsen $I_{0}$ er startstrømmen som induktoren yter, rett etter energikilden er koblet fra. Denne er like stor som før utkoblingen, fordi strøm gjennom en induktor ikke kan forandre størrelse brått. Etter utkoblingen avtar strømmen eksponentielt og blir null. Om man ønsker å finne spenningen for dette tidsrommet benyttes Ohms lov.

Med like stor strøm gjennom induktoren før og etter utkobling, er det lett å anta at spenningen også er den samme. Men det er den ikke. Før utkobling – hvis maks energi er oppsamlet i induktoren, så er spenningen null. Altså er det ikke noe spenningsfall, men dette forandrer seg øyeblikkelig når $t>0$ .

Energien absorbert av resistoren etter energikilden er frakoblet blir:

$w(t)=\frac{1}{2}L\cdot I_{0}^{2}\cdot(1-e^{-2(R/L)t})$

TBC

Oppgave: Finn spenning i kondensator tilkoblet pulserende strømkilde

Løsning

Først kan man notere seg de gitte opplysningene:

$C=0.1\cdot10^{-6}F$ .

$v_{0}=15V$

Strøm

Fra bildet over kan man avlese strømmen i hvert intervall. Denne er oppgitt i mA, mens t (for tid) er i mikrosekunder:

$i(t)=\begin{array}{ccc} -50 & , & 0\leq t\leq10\\ 100 & , & 10\leq t\leq20\\ 160 & , & 20\leq t\leq40\\ 0 & , & 40\leq t\leq\infty \end{array}$

Merk: Startspenningen $v_{0}=15V$ er oppgitt i Volt (V) og ikke milliVolt (mV). Så man må bli kvitt strømmens mA størrelse, før den skal brukes til å finne V:

$i(t)=\begin{array}{ccc} \frac{-50}{1000} & , & 0\leq t\leq10\\ \frac{100}{1000} & , & 10\leq t\leq20\\ \frac{160}{1000} & , & 20\leq t\leq40\\ \frac{0}{1000} & , & 40\leq t\leq\infty \end{array}$

Her er strømmen i hvert intervall nå oppgitt i Ampere (A). Så da er vi klare for å endelig finne spenningen!

Spenning

Formel $v=\frac{1}{C}\int_{t_{0}}^{\;t}idt+v_{t_{0}}$ benyttes for å finne spenning fra strøm. Bokstaven $i$ erstattes med korrekt størrelse over.

Første intervall

I første intervallet er strømmen $i_{1}(t)=\frac{-50}{1000}A$ .

Dette gir $v_{1}(0,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{0}^{\;t}(\frac{-50}{1000})dt+15=15-5\cdot10^{5}t$

Størrelsen $v_{t_{0}}=15V$ var her allerede opplyst, så arbeidet ble lettere.

Andre intervall

For å finne spenningen for resterende intervall må $v_{t_{0}}$ beregnes. Altså spenningen på slutten av forrige intervall.

Og for første intervallet er spenningen på slutten:

$v_{t=10\mu s}=v_{1}(10)=15-(5\cdot10^{5})\cdot(10\cdot10^{-6})=10V$

Dermed blir spenningen i andre intervallet:

$v_{2}(10,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{10\cdot10^{-6}}^{\;t}(\frac{100}{1000})dt+10=10^{6}t$

Tredje intervall

Spenningen på slutten i andre intervallet:

$v_{t=20\mu s}=v_{2}(20)=10^{6}\cdot(20\cdot10^{-6})=20V$

Spenningen i tredje intervallet:

$v_{3}(20,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{20\cdot10^{-6}}^{\;t}(\frac{160}{1000})dt+20=1.6\cdot10^{6}t-12$

Fjerde intervall

Spenningen på slutten i forrige (tredje) intervall:

$v_{t=40\mu s}=v_{3}(40)=1.6\cdot10^{6}\cdot(40\cdot10^{-6})-12=52V$

Spenningen i fjerde og siste intervall:

$v_{4}(40,t)=\frac{1}{0.1\cdot10^{-6}}\int_{40\cdot10^{-6}}^{\;t}(\frac{0}{1000})dt+52=52V$

Resultat

Oppsummert blir spenningen i intervallene som følger:

$v(t)=\begin{array}{ccc} 15-5\cdot10^{5}t & , & 0\leq t\leq10\\ 10^{6}t & , & 10\leq t\leq20\\ 1.6\cdot10^{6}t-12 & , & 20\leq t\leq40\\ 52 & , & 40\leq t\leq\infty \end{array}$

Graf som viser spenningen:

Oppgave: Finn strøm, effekt og energi for kondensator på 200 uF

Løsning

Først må man finne spenningen for de bestemte intervallene:

$t<0, v(t)=0$ ,
$0\leq t\leq2s, v(t)=10t$ ,
$2s\leq t\leq6s, v(t)=-10t+40$ ,
$6s\leq t\leq8s, v(t)=10t-80$ ,
$t>8s, v(t)=0$

Strømmen finner man med $i(t)=C\frac{d}{dt}v(t)$ . Dette er kapasitans ganget med den deriverte av spenningen over tid:

$t<0, i(t)=0$
$0\leq t\leq2s, i(t)=\frac{200}{1000000}\frac{d}{dt}10t=\frac{2}{1000}$
$2s\leq t\leq6s, i(t)=\frac{200}{1000000}\frac{d}{dt}(-10t+40)=-\frac{2}{1000}$
$6s\leq t\leq8s, i(t)=\frac{200}{1000000}\frac{d}{dt}(10t-80)=\frac{2}{1000}$
$t>8s, i(t)=0$

Effekt og energi blir $p(t)=v(t)\cdot i(t)$ og $w(t)=\frac{1}{2}Cv^{2}$ , hvor man enkelt setter inn riktige opplysninger og formler fra over.

Graf som viser effekt:

Graf som viser både effekt og energi:

Når energien i kondensatoren øker ( $0\leq t\leq2$ og $4\leq t\leq6$ ), betyr dette at energi absorberes av kondensatoren. Når energien tømmes ( $2\leq t\leq4$ og $6\leq t\leq8$ ) betyr dette at energi i stedet ytes.

Kondensator

For å kortvarig oppbevare elektrisk energi i en elektrisk krets benyttes en kondensator (på engelsk “capacitor”). Dette er en mye brukt type komponent med flere bruksområder.

Vanligvis består den av to metallplater, separert av et isolasjonsmateriale. Det går ikke strøm mellom platene, i stedet hopper det over ladning etter denne har bygget seg opp på platene. Platene får forskjellig polaritet, så ene blir positiv og den andre negativ.

Formler

Når man regner på kondensatorer må man forholde seg til tid. Som regel brukes bokstaven t. Som med induktorer forholder man seg også her gjerne til millisekunder og området $t>0$ .

Kapasitans

Ladningkapasiteten bestemmes av dens kapasitans (C). Denne oppgis i en tallstørrelse, med Farad (F) som måleenhet. Siden kapasitans på 1 F er ganske mye, ser man ofte tilsynelatende små kondensatorer med mikrofarad ( $\mu F$ ) kapasitans eller mindre.

Sammenlignet med resistorer og induktorer er det vanskelig å se for seg hvordan kondensatorer virker. Spesielt når de er koblet i serie eller parallelt. Men man kan sammenligne med kanallåser, dvs. sluser som veldig sakte slipper store skip eller båter gjennom kanaler, og hvor det er forskjellige vannivåer:

Å slippe gjennom en slik sluse kan være en tidkrevende prosess. Så det er ganske opplagt at kanallåser (kondensatorer) i parallell vil øke kapasiteten. Som på bildet, hvor det er 2 stk. sluser rett siden av hverandre. Formelen for kapasitansen blir da, $C_{eq}=C_{1}+C_{2}+C_{n}$ .

Kanallåser (kondensatorer) i serie vil derimot gjøre til at tempoet blir tregere, formel:

$C_{eq}=\frac{1}{\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{n}}}$

Strøm

Strømmen en kondensator kan yte fra terminalene, bestemmes av kapasitansen og spenningsendring:

$i(t)=C\frac{dv}{dt}$

Her er $\frac{dv}{dt}$ endringen i spenning over tid over kondensatoren. Til høyere denne er, til høyere blir strømmen som kondensatoren kan yte.

Spenning

Fra strømmen kan man finne spenningen:

$v(t)=\frac{1}{C}\int_{0}^{\;t}i(t)dt+v_{0}$

Her er $v_{0}$ spenningen på startøyeblikket.

Effekt og energi

$p(t)=v(t)\cdot i(t)$ er den kjedelige effektformelen.

$w(t)=\frac{1}{2}Cv(t)^{2}$ er energien i kondensatoren.

Induktor

En induktor (på engelsk «inductor») er en elektrisk komponent som skaper et magnetfelt rundt seg, når strømmen gjennom komponenten endrer seg i størrelse. Magnetfeltet som skapes kan levere energi til andre komponenter som er nære.

Et mer vanlig navn – et navn som brukes i praksis, er spole. Dens konstruksjon er veldig enkel. Man lager viklinger av kobbertråd, rundt en kjerne som gjerne er av et magnetisk metall. Størrelse, antall viklinger, materialvalg, osv. er avhengig av bruksområde.

Formler

For å regne på induktorer må man først vite at det inngår en variabel for tid. Og som regel brukes bokstaven/symbolet t. Her forholder man seg gjerne til millisekunder og området $t>0$ .

Induktans

Komponentens evne til å skape magnetfeltet oppgis som en tallstørrelse, med måleenhet Henry (H). Dette er induktansen til induktoren, ofte med symbol L når man gjør utregninger. Til høyere induktansen (L) er, til kraftigere blir magnetfeltet. Dette betyr også mer motstand (resistans) og høyere spenningsfall.

Induktorer minner litt om resistorer. Når de er koblet i serie kan man intuitivt summere induktansen med $L_{eq}=L_{1}+L_{2}+L_{n}$ . Og hvis de i stedet er koblet parallelt blir det $L_{eq}=\frac{1}{\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{n}}}$ .

Spenning

Siden komponenten skaper motstand blir det et spenningsfall over den:

$v(t)=L\cdot\frac{di}{dt}$

Spenning(sfallet) er lik induktansen L ganget med $\frac{di}{dt}$ , som er endringen i strømstørrelse (dvs. den deriverte av strømmen) for et gitt øyeblikk.

Strøm

Om formel for strøm er ukjent, kan man finne den hvis formel for spenning er kjent:

$i(t)=\frac{1}{L}\int_{0}^{\;t}v(t)\;dt+i_{0}$

Her er $i_{0}$ strømmen som eksisterer i startøyeblikket, når $t=0$ eller ved senere valgt tidspunkt.

Effekt og energi

To andre formler man også kan få bruk for:

$w(t)=\frac{1}{2}Li(t)^{2}$ som er energien i induktoren.

$p(t)=i(t)\cdot v(t)$ som er den vanlige effektformelen.

Eksempel

En strømkilde genererer en strøm $i=10te^{-5t}A.$ Denne strømkilden er koblet til en induktor med induktans $L=100mH$ .

a) Lag en graf som viser strømmen

Graf som viser strømmen $i=10te^{-5t}A$ :

b) På hvilket tidspunkt er strømmen størst?

Strømmen er størst i det øyeblikket strømmen går fra positiv økning til negativ. Makspunktet (dvs. snupunktet) vil derfor være når strømmens deriverte er lik 0.

Den deriverte av $i=10te^{-5t}$ er $i'=10te^{-5t}\frac{d}{dt}=10\cdot e^{-5t}(1-5t)$ .

Ved å sette $i'=10\cdot e^{-5t}(1-5t)=0$ får man $t=\frac{1}{5}s=0.2s$ . Altså er strømmen størst etter 0.2 sekunder.

c) Uttrykk spenningsfallet som en funksjon av tid

Her kommer formelen lenger opp inn i bildet.

Spenningsfallet over induktoren blir $v=L\cdot\frac{di}{dt}=0.1\cdot10e^{-5t}(1-5t)V=e^{-5t}(1-5t)V$ .

d) Lag en graf som viser spenningen

Graf som viser spenningen $v=e^{-5t}(1-5t)V$ :

e) Er spenningen og strømmen størst samtidig?

Nope. Spenningen er størst til å begynne med, når strømmen øker raskest. I det øyeblikket strømmen er på maks og snur (med endring lik 0), er spenningsfallet 0.

f) På hvilket tidspunkt endrer spenningen polaritet?

Spenningen endrer polaritet i samme øyeblikk strømmen begynner sin reduksjon. Dette er altså etter 0.2 sekunder.

g) Finnes det noen øyeblikk hvor spenningen endres drastisk over induktoren?

Tja. Akkurat i starten når strømkilden begynner å jobbe går spenningsfallet øyeblikkelig til 1V. Som allerede vist i grafen.

Matematisk får man nøyaktig samme svar:

$v=e^{-5t}(1-5t)V$ med $t=0$ gir $v=e^{-5\cdot0}(1-5\cdot0)V=1V$

Operasjonsforsterker

Innenfor analog elektronikk er behandling av signaler et viktig felt. Her kommer operasjonsforsterkeren inn i bildet. På engelsk er dette «operational amplifier», med «op amp» som en mye brukt forkortelse – også på norsk.

Jobben til denne komponenten er å forsterke et signal som gis til den. Mer konkret er det differansen i spenning på inngangene som forsterkes. Signalet inn kan også inverteres, da får spenningen på utgangssignalet motsatt fortegn.

Operasjonsforsterkeren er en mye brukt komponent som masseproduseres og brukes i alt mulig rart utstyr i dagens samfunn.

Feedback

Siden mange operasjonsforsterkere kan forsterke svært mye, betyr det at de er veldig sensitive og trenger en form for «feedback» som demper inngangssignalet:

Hvis inngangssignalet IKKE dempes vil utgangssignalet som regel bli begrenset av maksspenningen som operasjonsforsterkeren klarer å yte. Dette er driftsspenningen og vanligvis mindre enn 20V. Alt over dette nivået "klippes" bort og gjør utsignalet rimelig ubrukelig.

Arbeidsområde

Når en operasjonsforsterker produserer et utsignal (med enten positiv eller negativ spenning), og denne er lavere enn driftsspenningen, sies det at den opererer innenfor sitt lineære arbeidsområde .. En endring i inngangssignalet vil da også gi en endring i utgangssignalet.

Formler

Innenfor det lineære arbeidsområdet er det så liten spenningsdifferanse på inngangene at man kan sette $v_{p}=v_{n}$ . Altså sier man at spenningen er lik på inngangene. Dette forenkler utregningene betydelig.

Trenger man å sette opp Kirchhoff-ligninger for strøm kan man også anta at strøm inn på signalinngangene er 0. Men den er ikke nødvendigvis 0 på utgangen.

Velger man å forholde seg til disse forenklingene betyr det at man behandler operasjonsforsterkeren som om den var ideell (dvs. perfekt). Oppsiden er at det blir mindre hodebry når man skal regne. Nedsiden er at svaret kanskje kan avvike litt, eller bittelitt, fra det som ville vært tilfellet i virkeligheten.

Konfigurasjoner

Størrelsene på resistorene og hvordan inngangene på en operasjonsforsterker benyttes, kan gi veldig forskjellige resultat. Så det finnes flere forskjellige konfigurasjoner å velge mellom, alt ettersom hvilken arbeidsoppgave man ønsker at operasjonsforsterkeren skal utføre.

Her er 6 stk. forskjellige konfigurasjoner som skal forsøke å vise forskjellene:

I illustrasjonen over forsterker alle operasjonsforsterkerne 100 000 ganger. Altså er spenningen ut lik spenningsdifferansen på inngangene, men ganget 100 000 ganger (!).

Hvis spenningen på minus (inverteringsinngangen) er høyest, gjør dette at utgangssignalet får motsatt fortegn. Alle konfigurasjonene har feedback fra utgangssignalet så inngangssignalet blir dempet. Driftsspenningen og dermed det lineære arbeidsområdet er satt til $v_{cc}\pm15V$ .

For alle konfigurasjonene kan man anta at operasjonsforsterkeren er ideell. Så signalinngangene trekker ikke strøm. Og for å få enklere utregninger benyttes $v_{p}=v_{n}$ for inngangssignalet.

Konfigurasjon #1

Dette er enkleste eksemplet. Plussinngangen (ikke-inverterende inngang) blir $v_{s}=v_{p}=1V$ . Takket være grenen for feedback blir utgangssignalet $v_{o}=10V$ . Dette er godt innenfor maksgrensen på 15V. Mao. er $v_{o}=10v_{s}$ , så $g=10$ er forsterkningen.

Legg merke til hvor lav spenningsdifferanse ( $99.99\mu V$ ) det er på inngangene. Da kan man sette $v_{s}=v_{p}=v_{n}=1V$ .

Sammenhengene i kretsen kan man finne ved å benytte Kirchhoffs strømlov, som så forenkles fordi man antar ideelle forhold. For å finne spenninger fra spenningskilder, i tilfelle disse er adskilt med resistorer, benyttes Ohms lov.

Formel for feedback-gren

$v_{n}=v_{o}\cdot\frac{R_{n}}{R_{n}+R_{f}}$ som gir $v_{o}=v_{n}\frac{R_{n}+R_{f}}{R_{1}}$

Med tallstørrelser

$v_{n}=10V\cdot\frac{1k\Omega}{1k\Omega+9k\Omega}=10V\cdot\frac{1}{10}=1V$ ,

$v_{o}=1V\cdot\frac{1k\Omega+9k\Omega}{1k\Omega}=1V\cdot10=10V$

Uansett spenning fra $v_{s}$ så vil $v_{o}$ bli tidobbelt, så lenge operasjonsforsterkeren opererer innenfor det lineære arbeidsområdet.

Konfigurasjon #2

Dette eksemplet er ganske likt #1. Forskjellen er invertering så utgangssignalet får motsatt fortegn.

Plussinngangen har ikke spenning, $v_{p}=0V$ . Mao. må $v_{n}$ nesten være 0 den også. Ved utregning kan man da forenkle og sette $v_{n}=v_{p}=0$ .

Formel for feedback

$v_{o}=-\frac{R_{f}}{R_{n}}\cdot v_{s}$ som gir $v_{s}=-\frac{R_{n}}{R_{f}}\cdot v_{o}$

Med tallstørrelser

$v_{o}=-\frac{10k\Omega}{1k\Omega}\cdot1V=-10\cdot1V=-10V$ $v_{s}=-\frac{1k\Omega}{10k\Omega}\cdot(-10)=-\frac{1}{10}\cdot(-10V)=1V$

Så lenge man er innenfor det lineære arbeidsområdet blir $v_{o}$ det tidobbelte av $v_{s}$ , men med motsatt fortegn.

Konfigurasjon #3

Denne ser annerledes ut enn konfigurasjon #1, men fungerer likt.

Operasjonsforsterkeren trekker ikke strøm, så det blir ikke noe spenningsfall over resistorene etter spenningskildene $v_{a}=1V$ og $v_{b}=1V$ . (Da antar man at operasjonsforsterkeren er ideell.) Man kan da sette $v_{a}=v_{b}=v_{p}=v_{n}$ og gjøre samme utregninger som i konfigurasjon #1.

For å skape spenningsfall over resistorene etter $v_{a}=1V$ og $v_{b}=1V$ , måtte man gjort som i konfigurasjon #5.

Konfigurasjon #4

Dette er en såkalt summerende inverterende konfigurasjon. Med unntak av de to spenningskildene (med halvert spenning), så er denne konfigurasjonen lik konfigurasjon #2.

Også her er $v_{p}=0$ . Dermed må $v_{n}$ nesten være 0 også. Ved utregning kan man benytte $v_{p}=v_{n}$ , sånn som tidligere.

Siden spenningen fra spenningskildene er halvert leveres halve strømmen. Men sammen leverer de like mye som i konfigurasjon #1, så resten av kretsen fungerer likt. Like mye strøm går gjennom $R_{f}=10k\Omega$ , så spenningsfallet er det samme samt feedbacken.

Formel for feedback

$v_{o}=-\frac{R_{f}}{R_{a}}\cdot v_{a}+-\frac{R_{f}}{R_{b}}\cdot v_{b}$

$v_{a}=-v_{b}-v_{o}\cdot\frac{R_{a}}{R_{f}}$ og $v_{b}=-v_{a}-v_{o}\cdot\frac{R_{b}}{R_{f}}$

Med tallstørrelser

$v_{o}=-\frac{10k\Omega}{1k\Omega}(0.5V+0.5V)=-10V$ $v_{a}=v_{b}=-0.5V+10V\cdot\frac{1}{10}=0.5V$

I dette tilfellet er det kun to identiske spenningskilder med identiske resistorer. Så ganske enkelt. Men samme fremgangsmetode gjelder uansett antall spenningskilder, spenninger og størrelser på resistorer.

Konfigurasjon #5

Her også er det en summerende konfigurasjon. Men den er ikke-inverterende, fordi plussinngangen $v_{p}=1V$ har høyere spenning enn minus $v_{n}=999.900019mV$ .

Å sette $v_{p}=v_{n}$ når man skal regne ut, hvis det er nødvendig, er fortsatt greit.

Formel for feedback

$v_{o}=\frac{R_{f}}{R_{a}}\cdot v_{a}+\frac{R_{f}}{R_{b}}\cdot v_{b}$

dette gir

$v_{a}=v_{o}\frac{R_{a}}{R_{f}}-v_{b}$ og $v_{b}=v_{o}\frac{R_{a}}{R_{f}}-v_{a}$

Med tallstørrelser

$v_{o}=\frac{10k\Omega}{1k\Omega}(0.5V+0.5V)=10V$ ,

$v_{a}=v_{b}=10V\cdot\frac{1}{10}-0.5V=0.5V$

Formel for plussinngangen

$v_{p}=v_{c}\cdot\frac{R_{4}}{R_{4}+R_{3}}$

Med tallstørrelser

$v_{p}=2V\cdot\frac{1k\Omega}{1k\Omega+1k\Omega}=2V\cdot\frac{1}{2}=1V$

Konfigurasjon #6

Her er det en summerende og inverterende konfigurasjon.

Formel for plussinngangen

$v_{p}=v_{c}\cdot\frac{R_{4}}{R_{4}+R_{3}}$

Med tallstørrelser

$v_{p}=1V\cdot\frac{900\Omega}{900\Omega+1k\Omega}=1V\cdot0.474=0.474V$

Ved å sette opp en Kirchhoff-strømligning for feedback-grenen får man

$\frac{v_{a}-v_{n}}{1.1k\Omega}+\frac{v_{b}-v_{n}}{0.9k\Omega}=\frac{v_{n}-v_{o}}{10k\Omega}$

som blir

$\frac{1.1V-0.474V}{1.1k\Omega}+\frac{0.9V-0.474V}{0.9k\Omega}=\frac{0.474V-v_{o}}{10k\Omega}$

og $v_{o}=-9.95V$ som jo stemmer ganske bra.

TBC

Oppgave: Definer opampkonfigurasjon og finn arbeidsområdet

Oppgave

Løsning

a)

Her kan man enkelt se at det er tilknyttet spenningskilder til den ikke-inverterende inngangen på forsterkeren. Og siden det er to stk. av disse, blir dette da en såkalt summerende konfigurasjon.

Konklusjon: Summerende ikke-inverterende operasjonsforsterkerkonfigurasjon.

b)

Her får man to ligninger:

$v_{n}=v_{o}\frac{24k}{24k+96k}=0.2v_{o}$ (øverste gren, med feedback)

$\frac{5-v_{p}}{16k}+\frac{v_{s}-v_{p}}{24k}\approx0$ (nederste gren, med innsignal)

Hvis man antar at forsterkeren er i det lineære arbeidsområdet, kan man sette $v_{p}\approx v_{n}$ og forenkle samt kombinere ligningene. Da får man:

$v_{o}=\frac{16000v_{s}+120000}{8000}$

c)

For å være i det lineære arbeidsområdet må $v_{o}$ være innenfor $v_{cc}\pm10$ . Da må man finne maks og minimum for $v_{s}$ som gir dette resultatet:

$10=\frac{16000v_{s}+120000}{8000}$ og

$-10=\frac{16000v_{s}+120000}{8000}$ gir

$-\frac{25}{2}\leq v_{s}\leq-\frac{5}{2}$

Demonstrasjon:

For å matematisk kontrollere dette svaret prøver man hver ekstremalverdi i ligningen over. Dette skal da gi $v_{o}\pm10$ .

Black Wine Window

If you run Wine on Linux you might experience the black window problem ..

Here is a solution that at least works when using Wine to run foobar2000:

Description: Right click on the taskbar icon and select «New Window».

Now the black window should vanish and be replaced with a working one!

Another stupid and annoying Linux problem sorted out. 😊

Oppgave: Finn maskestrømmer også effekter i kretsen

Enda en oppgave som går ut på å finne maskestrømmer, og deretter de produserte samt absorberte effekter i kretsen:

Maskestrøm

Normen er at maskestrømmen går etter klokka, når den beveger seg gjennom løkka (altså maska). Hvis spenningskilde eller strømkilde indikerer det motsatte (at strømmen går mot klokka), må man legge til minustegn. Er man konsekvent bør svaret bli riktig når ligningene er løst.

Lage ligningssett

Maske a: $v_{2}-v_{1}=2A\cdot15\Omega-i_{c}15\Omega$

Maske b: $-20V=i_{b}(10\Omega+20\Omega)-i_{c}20\Omega$

Maske c: $0V=i_{c}(20\Omega+15\Omega+50\Omega+50\Omega)-i_{a}15-i_{b}20\Omega-i_{d}50\Omega$

Maske d: $-(v_{2}-v_{4})=i_{d}50\Omega-i_{c}50\Omega$ , med $v_{4}-v_{3}=i_{c}50\Omega$

Maske b og d har opplagt en strøm som går mot klokka. For resten kan man anta at strømmen går med klokka inntil videre.

Løsing av ligningssett

Med kjente opplysninger ( $i_{a}=2A,v_{s}=-20V,v_{3}=20V,i_{d}=-10A$ ) justert for å brukes i maskeligninger, også litt opprydding, får man:

$v_{2}-v_{1}=30-i_{c}15$ ,

$0=i_{c}135-30-(\frac{i_{c}20\Omega-20V}{30\Omega})20+500$ ,

$100i_{c}=v_{2}-520$ ,

Når disse er løst får man:

$i_{c}=-\frac{290}{73}=-3.97A$ ,

$v_{1}=\frac{2420}{73}=33.15V$ ,

$v_{2}=\frac{8960}{73}=122.74V$

Maskestrøm b blir $i_{b}=-3.31A$ . Nodespenning v4 er $v_{4}=-178.5V$ .

Det er ganske klart at maske c også har strøm som går mot klokka:

Tips: Se på yttergrenene – altså isolerte grener, for å avgjøre hva som er riktig retning på en maskestrøm ……..

Effekt

For å beregne effekter kan maskestrømmen brukes, hvis en gren ikke er delt med andre masker. Men om en gren er delt, må man i stedet finne grenstrømmen.

Absorbert effekt

$i_{1}=i_{a}=-3.31A$

Dette gir $p_{1}=i_{1}v_{1}=3.31A\cdot33.15V=109.73W$ ,

$i_{2}=i_{c}-i_{a}=-3.97A-2A=-5.97A$

Dette gir $p_{2}=i_{2}\cdot(v_{2}-v_{1})=5.97A\cdot(122.74V-33.15V)=535W$ ,

$i_{3}=i_{c}-i_{b}=-3.97A-3.31A=-0.66A$

Dette gir $p_{3}=i_{3}\cdot(v_{1}-v_{3})=0.66A\cdot(33.15V-20V)=8.68W$ ,

$i_{4}=i_{d}-i_{c}=-10A-3.97A=-6.03A$

Dette gir $p_{4}=i_{4}\cdot(v_{2}-v_{4})=6.03A\cdot(122.74V-178.5V)=1816.48W$ ,

$i_{5}=i_{c}=-3.97A$

Dette gir $p_{5}=i_{5}\cdot(v_{3}-v_{4})=3.97A\cdot(20V-178.5V)=788.05W$

Summert så blir absorbert effekt $p_{absorb}=3257.94W$

Produsert effekt

$p_{v_{s}}=-i_{b}v_{s}=-1\cdot20V\cdot3.31A=-66.2W$ ,

$p_{i_{s=2A}}=-i_{a}v_{i_{s=2A}}=-1\cdot2A\cdot(122.74V-33.15V)=-179.18W$ ,

$p_{i_{s=10A}}=-i_{d}v_{i_{s=10A}}=-1\cdot10A\cdot(122.74V-178.5V)=-3012.40W$

Summert så blir produsert effekt $p_{prod}=-3257.78W$

Produsert effekt er mao. lik absorbert effekt i kretsen.

En alternativ formel, så man slipper å finne spenning, er $p=i^{2}\cdot R$ . Denne har jeg lett for å glemme. Dermed går jeg den lange ruta, via spenning …